Enunciado

Nos exercícios de 19-22, cada matrix C tem a forma (15). O Teorema 5.3.7 implica que C é o produto de uma matriz de contração ou dilatação de fator | λ | pela matriz de rotação de ângulo ϕ . Encontre | λ | e o ângulo ϕ tal que - π < ϕ < π

C = 1 - 3 3 1

Passo 1

O Teorema 5.3.7 diz que para uma matriz do formato: C = a - b b a os autovalores da matriz são:

λ = a ± b ⋅ i

E que a matriz pode ser fatorada como:

a - b b a = | λ | 0 0 | λ | cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ -   cos ⁡ ϕ

Mas se a gente fizer o produto matricial, vamos chegar em:

a - b b a = | λ | cos ⁡ ϕ | λ | sen ⁡ ϕ - | λ | sen ⁡ ϕ | λ | cos ⁡ ϕ

O que implica dizer que:

a = λ cos ⁡ ϕ b = | λ | sen ⁡ ϕ

Vamos aplicar isso na matriz dada pela questão:

Passo 2

A questão nos dá a seguinte matriz:

C = 1 - 3 3 1

Ou seja:

a = 1 b = - 3

Pelo Teorema 5.3.7 os autovalores dessa matriz são:

λ = a ± b i = 1 ± 3 i

Então o valor absoluto dos autovalores serão:

λ = a ± b i

| λ | = a 2 + b 2

λ = 1 2 + ( - 3 ) 2

λ = 2

Passo 3

E para calcular o ângulo ϕ , vamos usar as seguintes relações:

a = λ cos ⁡ ϕ b = | λ | sen ⁡ ϕ

Vamos aplicar os valores:

  1 = 2 cos ⁡ ϕ ⇒ cos ⁡ ϕ = 1 2 - 3 = 2 sen ⁡ ϕ ⇒ sen ⁡ ϕ = - 3 2

Logo:

ϕ = - π 3

Resposta

λ = 5

ϕ = - π 3

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