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Prove o Teorema 5.3.2

Passo 1

O Teorema 5.3.2 diz que:

  1. A - - = A
  2. A T - = A T
  3. A B - = A - B -

Para isso vamos usar duas matrizes:

A n k = a 11 + i b 11 a 12 + i b 12 ⋯ a 1 k + i b 1 k a 21 + i b 21 a 22 + i b 22 ⋯ a 2 k + i b 2 k ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 + i b n 1 a n 2 + i b n 2 ⋯ a n k + i b n k

B k m = c 11 + i d 11 c 12 + i d 12 ⋯ c 1 m + i d 1 m c 21 + i d 21 c 22 + i d 22 ⋯ c 2 m + i d 2 m ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ c k 1 + i d k 1 c k 2 + i d k 2 ⋯ c k m + i d k m

Passo 2

Vamos provar o Teorema 5.3.2a)

Dada uma matriz no formato:

A = a 11 + i b 11 a 12 + i b 12 ⋯ a 1 k + i b 1 k a 21 + i b 21 a 22 + i b 22 ⋯ a 2 k + i b 2 k ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 + i b n 1 a n 2 + i b n 2 ⋯ a n k + i b n k

Vamos aplicar um conjugado em em A, vamos trocar os sinais que ficam em frente aos i ’s

A - = a 11 - i b 11 a 12 - i b 12 ⋯ a 1 k - i b 1 k a 21 - i b 21 a 22 - i b 22 ⋯ a 2 k - i b 2 k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 - i b n 1 a n 2 - i b n 2 ⋯ a n k - i b n k

E vamos aplicar um conjugado mais uma vez, trocando novamente os sinais:

A - - = a 11 + i b 11 a 12 + i b 12 ⋯ a 1 k + i b 1 k a 21 + i b 21 a 22 + i b 22 ⋯ a 2 k + i b 2 k ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 + i b n 1 a n 2 + i b n 2 ⋯ a n k + i b n k

Ou seja:

A - - = A

Passo 3

Vamos provar o Teorema 5.3.2b)

Primeiro vamos testar o conjugado da transposta:   A T -

A = a 11 + i b 11 a 12 + i b 12 ⋯ a 1 k + i b 1 k a 21 + i b 21 a 22 + i b 22 ⋯ a 2 k + i b 2 k ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 + i b n 1 a n 2 + i b n 2 ⋯ a n k + i b n k

A   t r a s p o s t a   d e s t a   m a t r i z   é

A T = a 11 + i b 11 a 21 + i b 21 ⋯ a n 1 + i b n 1 a 12 + i b 12 a 22 + i b 22 ⋯ a n 2 + i b n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 k + i b 1 k a 2 k + i b 2 k ⋯ a n k + i b n k

E   a p l i c a n d o   o   c o n j u g a d o :

( A T ) - = a 11 - i b 11 a 21 - i b 21 ⋯ a n 1 - i b n 1 a 12 - i b 12 a 22 - i b 22 ⋯ a n 2 - i b n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 k - i b 1 k a 2 k - i b 2 k ⋯ a n k - i b n k

Agora vamos testar a transposta do conjugado: ( A - ) T

A = a 11 + i b 11 a 12 + i b 12 ⋯ a 1 k + i b 1 k a 21 + i b 21 a 22 + i b 22 ⋯ a 2 k + i b 2 k ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a n 1 + i b n 1 a n 2 + i b n 2 ⋯ a n k + i b n k

A p l i c a n d o   o   c o n j u g a d o :

A - = a 11 - i b 11 a 12 - i b 12 ⋯ a 1 k - i b 1 k a 21 - i b 21 a 22 - i b 22 ⋯ a 2 k - i b 2 k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 - i b n 1 a n 2 - i b n 2 ⋯ a n k - i b n k

E   a p l i c a n d o   a   t r a n s p o s i ç ã o :

A - T = a 11 - i b 11 a 21 - i b 21 ⋯ a n 1 - i b n 1 a 12 - i b 12 a 22 - i b 22 ⋯ a n 2 - i b n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 k - i b 1 k a 2 k - i b 2 k ⋯ a n k - i b n k

Comparando os dois resultados, temos que:

A - T = ( A T ) -

Passo 4

Agora vamos provar o Teorema 5.3.2c)

Primeiro vamos calcular o conjugado do produto   A B - :

A B = a 11 + i b 11 ⋯ a 1 k + i b 1 k ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + i b n 1 ⋯ a n k + i b n k c 11 + i d 11 ⋯ c 1 m + i d 1 m ⋮ ⋱ ⋮ c k 1 + i d k 1 ⋯ c k m + i d k m

Vamos aplicar o produto matricial:

A B = ∑ 1 k ( a 1 j + i b 1 j ) ( c j 1 + i d j 1 ) ⋯ ∑ 1 k ( a 1 j + i b 1 j ) ( c j m + i d j m ) ⋮ ⋱ ⋮ ∑ 1 k ( a n j + i b n j ) ( c j 1 + i d j 1 ) ⋯ ∑ 1 k ( a n j + i b n j ) ( c j m + i d j m )

E agora aplicamos o conjugado:

A B - = ∑ 1 k ( a 1 j - i b 1 j ) ( c j 1 - i d j 1 ) ⋯ ∑ 1 k ( a 1 j - i b 1 j ) ( c j m - i d j m ) ⋮ ⋱ ⋮ ∑ 1 k ( a n j - i b n j ) ( c j 1 - i d j 1 ) ⋯ ∑ 1 k ( a n j - i b n j ) ( c j m - i d j m )

Podemos separar agora em duas matrizes:

A B - = a 11 - i b 11 ⋯ a 1 k - i b 1 k ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 - i b n 1 ⋯ a n k - i b n k c 11 - i d 11 ⋯ c 1 m - i d 1 m ⋮ ⋱ ⋮ c k 1 - i d k 1 ⋯ c k m - i d k m

E essas matrizes que separamos são os conjugados de A   e B :

A B - = A - ⋅ B -

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