Enunciado

Nos Exercícios 21-28, encontre os componentes vetoriais de u ao longo de e ortogonal a a.

27. u = 2 ,   1 ,   1 ,   2 ,   a = 4 , - 4 ,   2 , - 2

Passo 1

Primeiro vamos encontrar os componentes vetoriais de u ao longo de a , para isso vamos utilizar a seguinte fórmula da projeção:

proj a u = u ⋅  a       a 2   a

Passo 2

Agora vamos calcular cada uma das seguintes partes, de forma separada:

u ⋅  a = 2 ,   1 ,   1 ,   2 ⋅ 4 , - 4 ,   2 , - 2 = 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ - 4 + 1 ⋅ 2   + 2 ⋅ - 2 = 8 - 4 + 2 - 4 = 2

      a 2 =       4 , - 4 ,   2 , - 2 2 = 4 2 + ( - 4 ) 2 + 2 2 + - 2 2 = 16 + 16 + 4 + 4 = 40

Passo 3

Aplicando os valores na formula temos que:

proj a u = u ⋅  a       a 2   a = 2 40 4 , - 4 ,   2 , - 2 = 1 20 4 , - 4 ,   2 , - 2 = 4 20 ,   - 4 20 , 2 20 ,   - 2 20

Simplificando as frações, o componente vetorial de u ao longo de a é:

1 5 ,   - 1 5 ,   1   10 ,   - 1 10

Passo 4

Ainda falta encontrarmos o componente vetorial de u ortogonal a a , vamos lembrar que para isso, basta fazermos uma simples subtração, de acordo com a formula:

u - proj a u

Como encontramos o componente vetorial de u ao longo de a proj a u no passo anterior, vamos utilizar agora para encontrar a componente ortogonal.

u - proj a u = 2 ,   1 ,   1 ,   2 - 1 5 ,   - 1 5 ,   1   10 ,   - 1 10

= 2 - 1 5   ,   1 - - 1 5   ,   1 - 1 10 , 2 - - 1 10   = 9 5 ,   6 5 ,   9   10 ,   21 10

Assim o componente vetorial de u ortogonal a a é:

9 5 ,   6 5 ,   9   10 ,   21 10

Resposta

1 5 ,   - 1 5 ,   1   10 ,   - 1 10   ;   9 5 ,   6 5 ,   9   10 ,   21 10

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