Enunciado

Nos Exercícios 21-28, encontre os componentes vetoriais de u ao longo de e ortogonal a a.

28. u = 5 ,   0 ,   - 3 ,   7 ,   a = 2 ,   1 ,   - 1 , - 1

Passo 1

Primeiro vamos encontrar os componentes vetoriais de u ao longo de a , para isso vamos utilizar a seguinte fórmula da projeção:

proj a u = u ⋅  a       a 2   a

Passo 2

Agora vamos calcular cada uma das seguintes partes, de forma separada:

u ⋅  a = 5 ,   0 ,   - 3 ,   7 ⋅ 2 ,   1 ,   - 1 , - 1 = 5 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 + - 3 ⋅ - 1 + 7 ⋅ - 1

= 10 + 0 + 3 - 7 = 6

      a 2 =       2 ,   1 ,   - 1 , - 1 2 = 2 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 + - 1 2 = 4 + 1 + 1 + 1 = 7

Passo 3

Aplicando os valores na formula temos que:

proj a u = u ⋅  a       a 2   a = 6 7 2 ,   1 ,   - 1 , - 1 = 12 7 ,   6 7 , - 6 7 ,   - 6 7

Logo, o componente vetorial de u ao longo de a é:

12 7 ,   6 7 , - 6 7 ,   - 6 7

Passo 4

Ainda falta encontrarmos o componente vetorial de u ortogonal a a , vamos lembrar que para isso, basta fazermos uma simples subtração, de acordo com a formula:

u - proj a u

Como encontramos o componente vetorial de u ao longo de a proj a u no passo anterior, vamos utilizar agora para encontrar a componente ortogonal.

u - proj a u = 5 ,   0 ,   - 3 ,   7 - 12 7 ,   6 7 , - 6 7 ,   - 6 7

= 5 - 12 7   ,   0 - 6 7   ,   - 3 - - 6 7 , 7 - - 6 7   = 23 7 ,   - 6 7 , -   15 7 ,   55 7

Assim o componente vetorial de u ortogonal a a é:

23 7 ,   - 6 7 , -   15 7 ,   55 7

Resposta

12 7 ,   6 7 , - 6 7 ,   - 6 7 ;   23 7 ,   - 6 7 , -   15 7 ,   55 7

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