Enunciado

Existe algum produto interno euclidiano ponderado em R 3 no qual os vetores ( 1,2 ) e ( 3 , - 1 ) formem um conjunto ortonormal? Justifique sua resposta.

Passo 1

E aí...

Vamos verificar se existe um produto euclidiano ponderado em que esses vetores formem um produto ortogonal... só bora.

Passo 2

Vamos ter dois: u = ( u 1 , u 2 ) e v = v 1 , v 2 que vão estar no R 2 e formar o produto interno ponderado.

u , v = a u 1 v 1 + b u 2 v 2

Como u = 1,2 e v = 3 , - 1 vão formar um conjunto ortogonal, fica:

u 2 = a . 1 2 + b . 2 2

u 2 = a + 4 b = 1

v 2 = a . 3 2 + b . - 1 2

v 2 = 9 a + b = 1

u , v = a . 1.3 + b . 2 . - 1

u , v = 3 a - 2 b = 0

E isso nos leva para o sistema:

1 4 9 1 3 - 2 a b = 1 1 0

1 4 9 1 3 - 2   1 1 0  

Que se reduz a:

1 0 0 1 0 0     0 0 1  

Resposta

1 0 0 1 0 0     0 0 1  

Então, podemos dizer que o sistema é consistente, mas não há produto interno ponderado, para que esses vetores formem um conjunto ortonormal.

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