Enunciado

Se A for uma matriz quadrada e n um inteiro positivo, será verdade que A n T = A T n ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para provarmos essa igualdade temos que fazer duas coisas, primeiro temos que mostrar que o tamanho de A T n   é o mesmo que o de A n T e depois temos que mostrar que os elementos um a uma, são os mesmos nas duas matrizes.

Passo 2

Como nossa matriz é quadrada, digamos, A m × m , então nossa matriz A T também vai ser m × m . Nossa potência de " n " pode ser entendida como um produto da matriz com ela mesma " n "   vezes então o tamanho final da nossa matriz A n vai ser

m × m × m × m × ⋯ × m × m n   v e z e s

Nossa matriz final vai ser então de ordem m . Como A T tem a mesma ordem de A , ( m × m ), o tamanho final dela será o mesmo.

Passo 3

Agora para provar que os elementos são os mesmos, vamos precisar entender um pouco mais como funciona o produto m a t r i z × m a t r i z . Vejamos, seja

A = a b c d

A n = a b c d n = a b c d × a b c d × a b c d × ⋯ × a b c d n   v e z e s

Diminuindo um pouco esse produto

A 2 =   a b c d a b c d = a b a c   a b b d   c d a c   c d b d = a 2 + b c a b + b d c a + d c c b + d 2

Ou seja, analisando mais de perto nosso produto a gente pode ver que ele depende única e exclusivamente do produto entre a linha e a coluna da matriz em questão, o elemento [ a i j ] de A n   vai ser resultado da multiplicação da i-ésima linha de A pela j-ésima coluna de A suscetivas vezes.

Passo 4

Agora pra nossa matriz A T

A T = a c b d

A T n = a c b d n = a c b d × a c b d × a c b d × ⋯ × a c b d n   v e z e s  

Diminuindo esse produto

A T 2 =   a c b d a c b d = a b a c   c d a c   a b b d   c d b d = a 2 + b c c a + d c a b + b d c b + d 2

De novo a gente pode perceber que o produto m a t r i z × m a t r i z , quando nossa matriz é transposta, vai depender também única e exclusivamente da multiplicação linha por coluna.

Agora vamos analisar A T 2 e A 2

A T 2 = a 2 + b c c a + d c a b + b d c b + d 2

A 2 = a 2 + b c a b + b d c a + d c c b + d 2

Agora se eu transpor A 2

A 2 = a 2 + b c a b + b d c a + d c c b + d 2 ⇒ A 2 T = a 2 + b c c a + d c a b + b d c b + d 2

Que é exatamente igual a A T 2

A 2 T = a 2 + b c c a + d c a b + b d c b + d 2 = A T 2

Como nosso produto m a t r i z × m a t r i z é os mesmo independente da ordem da matriz, isto é, seja ela 3 × 3 ,   2 × 2   o u   n × n , o produto vai continuar funcionando da mesma maneira. Logo nossa proposição vale para matrizes de qualquer ordem desde que sejam quadradas. E como nossa potência de “ n ” também pode ser entendida como um produto e novamente o produto está definido pra qualquer ordem de matrizes, nossa proposição também vale pra qualquer potência

Resposta

Demonstração

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