Enunciado

Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.

Passo 1

Falaaaaaa aí!!!! Tudo bem?

Bora matar mais essa?

Então, a primeira coisa que vamos precisar é identificar a nossa superfície, que depois tudo se resolve. Mas aí, você pode me perguntar como eu vou saber quem é quem???

Fica tranquilo, que o segredo é o seguinte, vamos expressar as equações na sua forma reduzida, e depois vamos conferir no conteúdo Superfícies e Quádricas qual equação dará match com a nossa.

Passo 2

Vamos escrever nossa equação:

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y + 9 = 0

Podemos subtrair 9 de cada lado:

x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y = - 9

Reorganizando, temos:

x 2 - 6 x + y 2 + 4 y + z 2 = - 9

Vamos colocar uns parênteses separando nossas incógnitas para nos ajudar:

x 2 - 6 x + y 2 + 4 y + z 2 = - 9

Temos x 2 e y 2 , podemos tentar completar os pararênteses para voltar na forma produtos notáveis, vamos chamar esses complementos de a e b .

Ahhhh, mas vamos lembrar que o que colocamos do lado esquerdo precisamos colocar no direito:

x 2 - 6 x + a 2 + y 2 + 4 y + b 2 + z 2 = - 9 + a 2 + b 2

Seguindo a solução de um produto notável, temos que:

x ± c 2 = x 2 ± 2 x c + c 2

Agora vamos analisar cada parentesê separado.

Para x :

x 2 - 6 x + a 2 = x - a 2

- 6 x = 2 a x

a = - 3

Para y :

y 2 + 4 y + b = x + b 2

4 y = 2 b y

b = 2

Voltando para nossa equação:

x 2 - 6 x + a 2 + y 2 + 4 y + b 2 + z 2 = - 9 + a 2 + b 2

Vamos substituir nossos valores de a e b :

x 2 - 6 x + - 3 2 + y 2 + 4 y + 2 2 + z 2 = - 9 + - 3 2 + 2 2

x 2 - 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 + z 2 = - 9 + 9 + 4

x 2 - 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 + z 2 = 4

Agora só precisamos escrever na forma de produtos notáveis:

x - 3 2 + y + 2 2 + z 2 = 4

Essa equação reduzida nos lembra a equação da superfície esférica:

x ± x 0 2 + y ± y 0 2 + z ± z 0 2 = ρ 2

Então:

Passo 3

Agora vamos identificar o centro C e nosso raio ρ .

Para achar o centro, vamos olhar a equação da superfície esférica:

x ± x 0 2 + y ± y 0 2 + z ± z 0 2 = ρ 2

O nosso centro é dado pelos valores x 0 ,   y 0 e z 0 , agora analisando a nossa equação, temos:

C = 3 , - 2,0

E o raio:

ρ 2 = 4

ρ = 2

Arrasamos!!!!!!

Agora faltam apenas nove, bora resolve-las?

Resposta

Superfície esférica, com centro 3 , - 2,0 e raio 2 .

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