Enunciado

Identifique a quádrica descrita pela equação dada.

(c) - 10 + 8 x - 8 z - x 2 + 6 x z - z 2 = 0

Passo 1

Bom, vamos dar uma olhada nessa equação:

- 10 + 8 x - 8 z - x 2 + 6 x z - z 2 = 0

O nosso problema aqui é encontrar a equação reduzida.

Logo de cara aparece um problema: x z aparecem multiplicando um ao outro! Precisamos dar um jeito nisso.

A melhor forma de resolver esse tipo de problema é aplicando uma mudança de coordenadas.

Quando queremos nos livrar de termos do tipo a x y , é melhor usar uma rotação de coordenadas.

Passo 2

Como o nosso problema só está nas variáveis x e z , vamos fazer uma rotação no plano x z , ou seja, em torno do eixo y :

E vamos lembrar da matriz de rotação, que é uma forma fácil de lembrar como fica essa rotação.

No nosso caso, x e z são o resultado de uma rotação de u e w por um ângulo θ no sentido anti-horário:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ u w = x y

Essa matriz faz justamente isso: rotacionar as coordenadas por um ângulo θ no sentido anti-horário.

Multiplicando aquelas matrizes, encontramos o seguinte:

u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ = x z

Beleza, agora vamos substituir essas expressões de x e y na equação lá de cima:

x = u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ

z = u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ

Passo 3

Voltando na nossa equação:

- 10 + 8 x - 8 z - x 2 + 6 x z - z 2 = 0

Para simplificar, vamos começar olhando só para esses dois primeiros termos:

- x 2 + 6 x z - z 2

Porque é neles que pode aperecer o produto u w que está dando trabalho.

E vamos substituir com as expressões ali de cima:

x 2 = u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - 2 u w cos ⁡ θ sen ⁡ θ + w 2 sen 2 ⁡ θ

z 2 = u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + 2 u w sen ⁡ θ cos ⁡ θ + w 2 cos 2 ⁡ θ

E o termo misturando que causou problemas é:

6 x z = 6 u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ

6 x z = 6 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - w 2 + 6 u w cos 2 ⁡ θ - 6 u w sen 2 ⁡ θ

Isso tudo também ia ficar muito confuso se a gente somar as três expressões. Então primeiro vamos ver quais termos sobram com o produto u w .

n o   x 2         ⇒           - 2 u w cos ⁡ θ sen ⁡ θ = - u w sen ⁡ 2 θ

n o   z 2         ⇒           + 2 u w sen ⁡ θ cos ⁡ θ = u w sen ⁡ 2 θ

n o   6 x z         ⇒           6 u w cos 2 ⁡ θ - 6 u w sen 2 ⁡ θ = 6 u w   cos ⁡ 2 θ

Nessas simplificações aí de cima, nós usamos essas identidades aqui:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Como a nossa expressão era:

- x 2 + 6 x z - z 2

Então, substituindo, esse termo aqui vai aparecer:

- - u w sen ⁡ 2 θ + 6 u w   cos ⁡ 2 θ - u w sen ⁡ 2 θ

6 u w   cos ⁡ 2 θ

Então, se a gente quer eliminar esse único termo em que aparece o produto u w , temos que fazer:

cos ⁡ 2 θ = 0

E a solução mais simples para isso é:

2 θ = π 2

θ = π 4

Passo 4

Beleza, agora vamos voltar lá nas expressões para x 2 , z 2 e x z :

x 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - 2 u w cos ⁡ θ sen ⁡ θ + w 2 sen 2 ⁡ θ

z 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + 2 u w sen ⁡ θ cos ⁡ θ + w 2 cos 2 ⁡ θ

6 x z = 6 cos ⁡ θ sen ⁡ θ u 2 - w 2 + 6 u w cos 2 ⁡ θ - 6 u w sen 2 ⁡ θ

Aplicando de novo aquelas identidades, mas dessa vez considerando todos os termos:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Ficamos com:

x 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - u w sen ⁡ 2 θ + w 2 sen 2 ⁡ θ

z 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + u w sen ⁡ 2 θ + w 2 cos 2 ⁡ θ

6 x z = 3 sen ⁡ 2 θ u 2 - w 2 + 6 u w cos ⁡ 2 θ

Substituindo θ = π / 4 , e lembrando que:

cos ⁡ 2 π 4 = 0

sen ⁡ 2 π 4 = 1

Então:

x 2 = u 2 cos 2 ⁡ θ - u w + w 2 sen 2 ⁡ θ

z 2 = u 2 sen 2 ⁡ θ + u w + w 2 cos 2 ⁡ θ

6 x z = 3 sen ⁡ 2 θ u 2 - w 2

E agora substituímos na expressão que aparece na equação do enunciado:

- x 2 + 6 x z - z 2

- u 2 cos 2 ⁡ θ - u w + w 2 sen 2 ⁡ θ + 3 sen ⁡ 2 θ u 2 - w 2 - u 2 sen 2 ⁡ θ + u w + w 2 cos 2 ⁡ θ

- u 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - w 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 3 u 2 - w 2

E usando essa identidade trigonométrico aqui:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Ficamos com:

- u 2 - w 2 + 3 u 2 - 3 w 2

2 u 2 - 4 w 2

Ok, já foi uma simplificação bem grande!

Passo 5

Agora vamos voltar na equação original:

- 10 + 8 x - 8 z - x 2 + 6 x z - z 2 = 0

A gente já viu que esses últimos três termos viram:

- x 2 + 6 x z - z 2 = 2 u 2 - 4 w 2

Então:

- 10 + 8 x - 8 z + 2 u 2 - 4 w 2 = 0

Agora vamos substituir x e z com as mesmas fórmulas de antes:

x = u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ z = u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ

A equação vira:

- 10 + 8 u cos ⁡ θ - w sen ⁡ θ - 8 u sen ⁡ θ + w cos ⁡ θ + 2 u 2 - 4 w 2 = 0

2 u 2 - 4 w 2 + u 8 cos ⁡ θ - 8 sen ⁡ θ - w 8 sen ⁡ θ + 8 cos ⁡ θ - 10 = 0

E quando a gente colocar θ = π / 4 , e lembrar que:

sen ⁡ π 4 = 1 2 cos ⁡ π 4 = 1 2

2 u 2 - 4 w 2 + u 8 1 2 - 8 1 2 - w 8 1 2 + 8 1 2 - 10 = 0

2 u 2 - 4 w 2 - 16 2 w - 10 = 0

2 u 2 - 4 w 2 - 8 2 w - 10 = 0

Didivindo tudo por 2 :

u 2 - 2 w 2 - 4 2 w - 5 = 0

Passo 6

A finalmente, vamos ao que interessa, qual é a superfície quádrica descrita por essa equação?

Como só temos duas variáveis, sabemos que é uma equação quádrica cilíndrica. E como as duas variáveis estão ao quadrado, podemos ter:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Que daria uma cilíndrica elíptica, ou:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Que dá uma cilíndrica hiperbólica. Como na nossa equação as duas variáveis tem os sinais trocados (uma positiva e uma negativa):

u 2 - 2 w 2 - 4 2 w - 5 = 0

Ela só pode ser uma cilíndrica hiperbólica. Pronto, pode parar por aqui, já sabemos qual é a superfície.

Mas... Se você quiser deixar na forma reduzida ali de cima, é só completar os quadrados para encontrar essa igualdade aqui:

- 2 w 2 - 4 2 w = - 2 w + 2 2 + 4

Então:

u 2 - 2 w + 2 2 + 4 - 5 = 0

u 2 2 - w + 2 2 1 = 1

Que é praticamente igual à forma reduzida! A única diferença é que a coordenada w está deslocada por uma distância de 2 .

Para corrigir isso você pode fazer uma translação de coordenadas (assim como fizemos uma rotação lá em cima):

u ' = u v ' = v w ' = w + 2

Então:

u ' 2 2 - w ' 2 1 = 1

Pronto! Agora estamos na forma reduzida. E mais uma vez confirmamos que a superfície é uma quádrica cilíndrica hiperbólica.

Resposta

A equação é uma quádrica cilíndrica hiperbólica.

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