Lista de Exercícios Resolvidos de Quádricas

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Encontre as coordenadas dos focos da elipse que resulta da interseção de z = x 2 4 + y 2 9 com

z = 4 .

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Encontrar os pontos de interseção do parabolóide hiperbólico y 2 - x 2 = z com a reta

  x - 2 1 = y - 1 2 = z - 3 3

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Identificar as quádricas representadas pelas equações:

  1. 2 x 2 + 4 y 2 + z 2 - 16 = 0
  2. x 2 - 4 y 2 + z 2 = 8
  3. z 2 - 4 x 2 - 4 y 2 = 4
  4. x 2 + z 2 - 4 y = 0
  5. 4 x 2 - y 2 = z

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Considere a quádrica Ω

4 x 2 + y 2 = 1 + z ²

a) Identifique e esboce Ω .

b) Determine todos os 6 planos paralelos a algum plano coordenado que intersectam Ω em uma cônica com distância focal 120 .

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Considere a quádrica de equação

4 x 2 + 3 y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 y z - x - 2 y - 2 z = 0

Determine uma base β que gera um sistema de coordenadas no qual essa quádrica tem uma equação livre de termos quadráticos mistos e então identifique-a.

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Considere a quádrica

Q :   16 x 2 - 9 y 2 - 16 z 2 + 32 x + 36 y - 64 z - 228 = 0

a) Identifique Q .

b) Determine o centro de Q .

c) Esboce Q .

d) Justifique se Q é ou não uma superfície de revolução.

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Considere a forma quadrática:

F v = v T - 3 1 1 - 3 v

Pode-se afirmar que:

(a) F v < 0 para todo v ≠ 0

(b) Existem u, v tais que F u < 0 e F v > 0

(c) F v > 0 para todo v ≠ 0

(d) F v 1 + v 2 = F v 1 + F v 2

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Considere a quádrica

Ω : 2 x 2 + y 2 - z 2 + 4 x - 6 y + 11 = 0

  1. Identifique e esboce a quádrica Ω .
  2. Determine o(s) plano(s) da forma π : z = k de modo que a cônica Τ ⋂ π tenha distância focal igual a 2 2 .

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Considere a quádrica de equação

4 x 2 - m y 2 + n z 2 - 16 = 0

onde m , n são números reais.

a) Para m = 0 e n = 1 , identifique a quádrica e esboce o gráfico.

b) Para m = n = 1 , identifique a curva obtida pela intersecção da quádrica com o plano z = 12 e determine seu(s) foco(s).

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Considere a quádrica

Ω :   - x 2 - 4 y 2 + 4 z 2 + 2 x + 16 y = 21

  1. Identifique e esboce a quádrica Ω .
  2. Identifique a cônica Τ = Ω ⋂ π , indicando as coordenadas de seus focos, nos casos em que π :   x - 1 = 0 e π :   z + 2 = 0 .

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Considere a quádrica Ω de equação

4 x 2 - 9 y 2 + 4 z 2 - 16 x + 36 y - 16 z + 32 = 0

  1. Identifique e esboce Ω .
  2. Essa quádrica é uma superfície de revolução? Justifique sua resposta.

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Considere a seguinte quádrica

Ω : x 2 - y 2 + 2 y - 2 z = 1

  1. Determine uma equação reduzida e identifique a quádrica Ω .
  2. Determine uma equação reduzida e identifique a curva de corte Τ = Ω ⋂ π , onde π : y = 3 , indicando seus vértices, se houverem.
  3. Determine uma equação reduzida e identifique a curva de corte Τ = Ω ⋂ π , onde π : z = 0 , indicando seus vértices, se houverem.

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Considere a quádrica Ω de equação

x 2 + 4 y 2 + z 2 - 12 z + 20 = 0

  1. Identifique e esboce Ω
  2. Determine a interseção de Ω com o plano z = 6 . Caso essa interseção seja uma cônica não degenerada (elipse, parábola ou hipérbole), determine seus vértices e focos.

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Prove que a superfície z = x y é um paraboloide hiperbólico.

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Dados os pontos P = ( 0 ,   1 ,   0 ) e Q = ( 0 ,   3 ,   0 ) . Identifique e esboce o lugar geométrico dos pontos X = ( x ,   y ,   z ) tais que

d X ,   P + d X ,   Q = 6

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Considere a quádrica Ω : 4 x 2 + 9 z 2 - 36 y - 54 z + 9 = 0 e a curva γ que é a intersecção de Ω com o plano z = 0 .

a) Identifique Ω .

b) Identifique γ .

c) Determine os elementos geométricos de γ tais como vértices, focos, assíntotas e diretriz.

d) Faça um esboço de γ .

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Considere a quádrica

Ω : x 2 9 - y 2 9 + z 2 16 = 0

a) Identifique e esboce Ω .

b) Determine os traços (cortes com planos paralelos a algum plano coordenado) de Ω que são cônicas com distância focal 10.

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Identifique a quádrica Ω : 200 x 2 - 25 y 2 + 4 z 2 + 200 y = 0 e esboce a intersecção de Ω com o plano π : z + 10 = 0 , determinando o centro e os focos da cônica Ω ∩ π .

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Considere a quádrica

Ω : x 2 + k 1 y ² + 6 k 2 y + k 3 z 2 = k 4

Identifique a quádrica Ω e também a intersecção de Ω com π : z - 1 = 0 . Especifique, em cada caso, o centro e a reta que contém os focos da cônica resultante dessa interseção.

a) k 1 = 1 , k 2 = 0 , k 3 = 4 e k 4 = 4

b) k 1 = 2 , k 2 = 2 , k 3 = - 1 e k 4 = - 18

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Considere a quádrica

Ω :   - x 2 + 2 y 2 + z 2 - 4 y + 4 z = 0

Identifique a quádrica Ω e também, em cada caso, a intersecção de Ω com π : especificando, se houver, o centro e a reta que contém os focos da cônica resultante desta interseção.

a) π : y = 2

b) π : z = 6 - 2

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