Enunciado

Mostrar que o conjunto

{[[[2,3],[-,1,0]]] , [[[1,-,1],[0,-,2]]] , [[[-,3,-,2],[1,-,1]]] , [[[3,-,7],[-,2,5]]]}

é uma base de M (2,2) .

Passo 1

Pra mostrar que é base, precisamos provar que o conjunto é LI, e que o conjunto gera M ( 2,2 ) .

No nosso caso, vamos provar que:

a [[[2,3],[-,1,0]]] + b [[[1,-,1],[0,-,2]]] + c [[[-,3,-,2],[1,-,1]]] + d [[[3,-,7],[-,2,5]]] = [[[0,0],[0,0]]]

Só aceita a solução trivial, assim é LI.

E depois a gente faz a mesma igualdade só que igualamos a uma matriz com termos genéricos e verificamos se tem solução.

Vamos lá?

Passo 2

Primeiro a gente faz esse:

a [[[2,3],[-,1,0]]] + b [[[1,-,1],[0,-,2]]] + c [[[-,3,-,2],[1,-,1]]] + d [[[3,-,7],[-,2,5]]] = [[[0,0],[0,0]]]

Se a gente desenvolver fica:

[[[2,a,+,b,-,3,c,+,3,d,3,a,-,b,-,2,c,-,7,d],[-,a,+,c,-,2,d,-,2,b,-,c,+,5,d]]] = [[[0,0],[0,0]]]

Igualando os termos correspondentes...

2 a + b - 3 c + 3 d = 0 ( 1 )

- a + c - 2 d = 0 ( 2 )

3 a - b - 2 c - 7 d = 0 ( 3 )

- 2 b - c + 5 d = 0 ( 4 )

Deixando tudo em função de b ...

a = - (b)/(2) ; c = (b)/(2) ; d = (b)/(2)

Substituindo em qualquer uma delas, chegamos em b = 0 . Logo, a = b = c = d = 0 , é a única solução do sistema, que é a solução trivial. Com isso, o conjunto é LI.

Passo 3

Vamos para a outra condição agora...

a [[[2,3],[-,1,0]]] + b [[[1,-,1],[0,-,2]]] + c [[[-,3,-,2],[1,-,1]]] + d [[[3,-,7],[-,2,5]]] = [[[x,y],[w,z]]]

2 a + b - 3 c + 3 d = x ( 1 )

- a + c - 2 d = y ( 2 )

3 a - b - 2 c - 7 d = w ( 3 )

- 2 b - c + 5 d = z ( 4 )

Isolando as variáveis...

a = - y + c - 2 d

b = - w + 3 a - 2 c - 7 d

c = - z - 2 b + 5 d

3 d = x - 2 a - b + 3 c

Bom, não temos restrições, nem contradições nas nossas igualdades (se quiser resolver, pode, mas nesse caso não precisa).

Ou seja, o sistema admite solução para quaisquer valores de x , y , w e z .

Com isso, concluímos que o conjunto em questão gera M ( 2,2 ) .

Tendo satisfeito as duas exigências para ser base, a gente mostrou que o conjunto é base de M ( 2,2 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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