Mostrar que se , e são , então , e são também .
Passo 1
A gente já sabe de cor o que significam vetores : só existe uma combinação linear com eles que leve no , que é aquela com todos os coeficientes nulos! Daí, a equação
Só tem solução para .
Passo 2
Mas o que a gente quer é mostrar outra parada: que , e são também ! Vamos começar escrevendo uma equação para uma combinação linear deles que leva no .
Epa epa epa! Isso aí é uma combinação linear de , e , né? Mas já vimos que eles são , e então essa combinação só vale quanto os coeficientes são nulos! Portanto,
Passo 3
Se multiplicarmos a segunda equação do passo anterior por e somar com a primeira teremos que
Somando essa equação com a terceira do passo anterior teremos que
Então pela primeira equação teremos que e pela terceira equação .
Ou seja, esse sistema só tem a solução . Mas então, na primeira equação desse passo, em que temos uma combinação linear com , e , temos , e acompanhando eles!
Acabamos de ver que é tudo , e então esses caras são !
Resposta
, e são também