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Mostrar que se u , v e w são L I , então u + v , u + w e v + w são também L I .

Passo 1

A gente já sabe de cor o que significam vetores L I : só existe uma combinação linear com eles que leve no 0 , que é aquela com todos os coeficientes nulos! Daí, a equação

k u + m v + n w = 0

Só tem solução para k = m = n = 0 .

Passo 2

Mas o que a gente quer é mostrar outra parada: que u + v , u + w e v + w são também L I ! Vamos começar escrevendo uma equação para uma combinação linear deles que leva no 0 .

a u + v + b u + w + c v + w = 0

a + b u + c + a v + b + c w = 0

Epa epa epa! Isso aí é uma combinação linear de u , v e w , né? Mas já vimos que eles são L I , e então essa combinação só vale quanto os coeficientes são nulos! Portanto,

a + b = 0 c + a = 0 b + c = 0

Esse sistema só tem a solução a = b = c = 0 . Mas então, na primeira equação desse passo, em que temos uma combinação linear com u + v , u + w e v + w , temos a , b e c acompanhando eles!

a u + v + b u + w + c v + w = 0

Acabamos de ver que é tudo 0 , e então esses caras são L I !

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