Enunciado

Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .

Passo 1

Bom, pra ver se são L D a gente já sabe o que fazer. Vamos direto na combinação linear desses caras, e aí a gente vê quais os coeficientes que encontramos.

a v 1 + b v 2 + c v 3 = 0

a v 1 + b v 2 + c 2 v 1 - v 2 = 0

a + 2 c v 1 + b - c v 2 = 0

Passo 2

Essa equação mostra que existe combinação linear que dê 0 para esses vetores, basta que a gente cumpra:

b - c = 0 → b = c a + 2 c = 0 → a = - 2 c

Achamos exatamente o que queríamos! Uma combinação linear dos vetores dando 0 , sem os coeficientes serem todos nulos! E isso realmente acontece, basta a gente pegar valores que sirvam na nossa relação, como por exemplo a = - 2 , b = 1 e c = 1 . Como encontramos uma combinação linear com coeficientes não nulos, os vetores são L D .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam u → , v → dois vetores quaisquer do R n . Verifique que u → - v → ≥ u → - v →
Sejam u → , v → , w → vetores do R n tais que w → = αu → + βv → com α e β reais. Suponha u → e v → unitários ( u → = 1 e v → = 1 ) e ortogonais. Prove que α = u → ⋅ w → e β = v → ⋅ w → .
Sejam u → e v → vetores de R 2 . Dizemos que u → e v → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α e β , se α u → + β v → = 0 → , então α = β = 0 . Prove que u → = u 1 , u 2 e v →
Seja u → , v → , w → vetores qualquer de R 2 . Prove que se u →ev → forem lineamente independentes, então existirão( e serão únicos) reais α e β tais que w → = α u → + β v →
Sejam u → e v → dois vetores unitários e ortogonais do R 2 . Prove que u → e v → são linearmente independentes.