Enunciado

Provar que se u e v são vetores de um espaço vetorial euclidiano, então:

  1. u ⊥ v implica u + v 2 = u 2 + v 2
  2. u + v ⊥ ( u - v ) implica u = v

Passo 1

  1. Bora lá, vamos começar desenvolvendo essa expressão. O que a gente tem que saber aqui é que a norma de um vetor ao quadrado é igual ao produto escalar do vetor por ele mesmo. Assim, ó:
  2. z 2 = z ⋅ z

    Sabendo disso, vamo que vamo!

    u + v 2 = u + v ⋅ u + v

    Fazendo a distributiva:

    u + v 2 = u ⋅ u + u ⋅ v + v ⋅ u + v ⋅ v

    Lembra que o produto escalar é comutativo, ou seja, u ⋅ v = v ⋅ u .

    u + v 2 = u 2 + 2 u ⋅ v + v 2

    Mas se os vetores são ortogonais, u ⋅ v = 0 , né? Então:

    u + v 2 = u 2 + v 2

    Isso aí é o Teorema de Pitágoras!

    Passo 2

  3. Aqui ele diz que ( u + v ) é perpendicular a ( u - v ) . Por isso, o produto escalar deles dá 0 . Vamos usar isso aí!

u + v ⋅ u - v = 0

Fazendo a distributiva:

u ⋅ u - u ⋅ v + v ⋅ u - v ⋅ v = 0

u 2 - v 2 = 0

u 2 = v 2

Como os dois são positivos:

u = | v |

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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