Enunciado

Mostre que as matrizes

1 1 - 1 4 2 1 1 3

São semelhantes, mas que:

3 1 - 6 - 2 - 1 2 1 0

Não são

Passo 1

A questão nos dá as matrizes

A = 1 1 - 1 4 B = 2 1 1 3

C = 3 1 - 6 - 2 D = - 1 2 1 0

Dada uma matriz P = a b c d   , duas matrizes semelhantes respeitam a relação:

A P = P B

E para que duas matrizes sejam similares elas devem ter o mesmo posto.

Passo 2

Primeiro vamos garantir que A e B tenham o mesmo posto:

A = 1 1 - 1 4 B = 2 1 1 3

Vamos escalonar as duas matrizes por eliminação gaussiana:

A = 1 0 0 1 B = 1 0 0 1

O posto é o número de linhas não nulas de uma matriz escalonada:

P o s t o A = P o s t o B = 2

Passo 3

Agora vamos garantir que A e B respeitam a relação A P = P B

Primeiro vamos calcular cada lado separadamente

A P = 1 1 - 1 4 a b c d   = a + c b + d - a + 4 c - b + 4 d  

P B = a b c d   2 1 1 3 = 2 a + b a + 3 b 2 c + d c + 3 d  

E agora vamos igualar os dois lados:

A P = P B

a + c b + d - a + 4 c - b + 4 d   = 2 a + b a + 3 b 2 c + d c + 3 d  

Logo:

a + c = 2 a + b b + d = a + 3 b - a + 4 c = 2 c + d - b + 4 d = c + 3 d

Fazendo as devidas simplificações e rearranjos, chegamos em:

a + b - c = 0 a - 2 b - d = 0 - a + 2 c - d = 0 - b - c + d = 0

Passo 4

Vamos colocar a expressão do passo anterior em forma matricial:

1 1 - 1 0 1 - 2 0 - 1 - 1 0 2 - 1 0 - 1 - 1 - 1 a b c d = 0 0 0 0

Perceba o seguinte, se resolvermos a expressão matricial acima estaremos descobrindo o vetor cuja a transformação linear resultada em zero. Ou seja, estaremos descobrindo o núcleo da transformação linear expressa acima.

Reduzindo o sistema por eliminação Gaussiana chegamos em

1 0 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 a b c d = 0 0 0 0

Logo:

a - d = 0 b = 0 c - d = 0

Se chamarmos d = t :

a = t b = 0 c = t d = t

Se considerarmos t = 1 chegamos em uma solução não trivial:

p → = 1 0 1 1

Isso mostra que a matriz P é invertível, e que A e B são similares.

Passo 5

Agora vamos olhar para as matrizes C e D :

C = 3 1 - 6 - 2 D = - 1 2 1 0

Vamos reduzir as duas utilizando eliminação gaussiana:

C = 1 1 3 0 0 D = 0 2 1 0

Perceba que as matrizes têm posto diferente:

P o s t o C = 1

P o s t o D = 2

Logo, elas não podem ser similares entre si.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No Exercício 10, encontre uma decomposição em valores singulares de A. A = - 2 - 1 2 2 1 - 2
No Exercício 1, encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A. A = - 2 2 - 1 1 2 - 2
No Exercício 2, encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A. A = - 2 - 1 2 2 1 - 2
No Exercício 3, encontre uma decomposição em valores singulares reduzida de A. A = 1 0 1 1 - 1 1
Quais das seguintes aplicações de R 3 em R 3 são operadores lineares? F 2 x , y , z = 2 x - y + z , 0,0