Enunciado

(O Teorema da Alternativa de Fredholm) Seja T : V → V um operador linear num espaço vetorial de dimensão n . Prove que vale exatamente uma das duas afirmações seguintes.

  1. A equação T x → = b → tem alguma solução, qualquer que seja o vetor b → em V
  2. A nulidade de T é positiva: n u l T > 0

Passo 1

A questão nos dá duas afirmações. Então vamos testar cada uma delas e veremos qual é verdadeira.

Vamos começar testando a afirmação a : “A equação T x → = b → tem alguma solução, qualquer que seja o vetor b → em V

Imagine que a transformação linear seja um produto entre uma matriz A e um vetor x →

T x → = A ⋅ x →

Então a afirmação ( a ) pode ser vista como uma afirmação de que: Sempre haverá uma solução não importa qual seja o valor de b → . Vamos expressar isso matematicamente abaixo:

A ⋅ x → = b →

x → = A - 1 b →

Disso, podemos admitir que A é inversível, e logo A é não-singular.

Da mesma forma, a expressão x → = A - 1 b → só será possível para qualquer valor de b → , se todos os vetores que existem em V forem imagens da transformação linear. Em termos matemáticos, a transformação linear T têm que ser injetora!

Como T é uma transformação linear injetora, então, pelo Teorema 8.2.1, o núcleo de T é nulo:

N u c T = 0

Passo 2

Agora vamos pegar todas as informações do passo anterior, resumir e tirar uma conclusão:

Se a premissa ( a ) for verdadeira, então T é uma transformação injetora. O fato de T ser injetora implica dizer que seu núcleo é igual a zero. E se o núcleo é igual a zero, então a premissa ( b ) é falsa.

Já se a premissa ( b ) for verdadeira, então a nulidade de T é negativa. Isso implica dizer que o núcleo de T será diferente de zero. E se o núcleo de T for diferente de zero, a afirmação ( a ) é falsa.

É com este raciocínio que provamos que somente uma das afirmações ( a ) ou ( b ) pode ser verdadeira.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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