Enunciado

(a) Mostre que os planos 2 x - y + z = 0 e x + 2 y - z = 1 se interceptam segundo uma reta r;

(b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente.

Passo 1

Olá, tudo joia? Bora começar!

  1. Vamos analisar os vetores normais desses planos:
  2. 2 , - 1,1   e   1,2 , - 1

    Esses vetores não são múltiplos, então esses planos não são paralelos nem coincidentes. Logo, eles se interceptam por uma reta.

    Podemos ver isso também através do produto vetorial:

    i j k 2 - 1 1 1 2 - 1 =   - 1 i + 3 j + 5 k

    A interseção dos planos é uma reta que tem - 1,3 , 5 como vetor diretor.

    Passo 2

  3. Precisamos determinar a reta r . Para isso, vamos resolver o sistema:

2 x - y + z = 0 x + 2 y - z = 1

Escalonando a matriz:

2 - 1 1 1 2 - 1   0       1  

Trocando as linhas:

1 2 - 1 2 - 1 1   1     0 → - 2 L 1 + L 2

1 2 - 1 0 - 5 - 3 - 1     - 2 →   - 1 5 L 2

1 2 - 1 0 1 - 3 / 5 - 1       2 / 5 →   - 2 L 2 + L 1

1 0 1 / 5 0 1 - 3 / 5 1 / 5       2 / 5

Reescrevemos então como:

x + 1 5 z = 1 5

y - 3 5 z = 2 5

Chamando z = t , temos a equação da reta r :

x = 1 5 - 1 5 t y = 2 5 + 3 5 t z = t

Passo 2

Então, um ponto genérico de r pode ser escrito como:

P r = 1 5 - t , 2 5 + 3 t , 5 t

(multiplicamos o vetor por 5 para eliminar a fração)

Vamos então encontrar t de modo que A P r → seja perpendicular ao vetor diretor de r :

A P r → = - 4 5 - t ,   2 5 + 3 t ,   5 t - 1

Para ser ortogonal, o produto interno deles tem que ser igual a zero. Vamos lá então...

Passo 3

Fazendo o produto interno dos vetores:

< - 4 5 - t ,   2 5 + 3 t ,   5 t - 1   - 1,3 , 5 >

4 5 + t + 6 5 + 9 t + 25 t - 5 = 0

t = 3 35

Substituindo esse valor em A P r → = - 4 5 - t ,   2 5 + 3 t ,   5 t - 1 , encontramos:

31 35 , 2 35 , 4 7

Esse é o vetor diretor da reta procurada. A reta que passa pelo ponto A e tem essa reta como vetor diretor é:

x = 1 + 31 35 u y = 2 35 u z = 1 + 4 7 u ,     u ∈ R

Ufa! Acabamos!

Resposta

x = 1 + 31 35 u y = 2 35 u z = 1 + 4 7 u ,     u ∈ R

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