Enunciado

Mostre que

d) U * (V xx W) = U * [(V + alpha U + beta W) xx W] .

Passo 1

Para esta alternativa ainda vamos usar que:

V xx W = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,v_2,v_3],[w_1,w_2,w_3]]] = (v_2 w_3 - v_3 w_2) hat i + (v_3 w_1 - v_1 w_3) hat j + (v_1 w_2 - v_2 w_1) hat k

Vamos utilizar também o vetor U = ( u_1 , u_2 , u_3 ) para expandir os termos em ambos os lados da igualdade! Vamos lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é escrever o vetor:

V + alpha U + beta W = ( v_1 + alpha u_1 + beta w_1 , v_2 + alpha u_2 + beta w_2 , v_3 + alpha u_3 + beta w_3 )

De forma que obtemos o seguinte produto vetorial:

(V + alpha U + beta W) xx W = [[[hat i,hat j,hat k],[v_1,+,alpha,u_1,+,beta,w_1,v_2,+,alpha,u_2,+,beta,w_2,v_3,+,alpha,u_3,+,beta,w_3],[w_1,w_2,w_3]]] = ->

-> = [(v_2 + alpha u_2 + beta w_2) w_3 - (v_3 + alpha u_3 + beta w_3) w_2] hat i + ->

+ [( v_3 + alpha u_3 + beta w_3 ) w_1 - ( v_1 + alpha u_1 + beta w_1 ) w_3] hat j + ->

-> + [ (v_1 + alpha u_1 + beta w_1) w_2 - ( v_2 + alpha u_2 + beta w_2 ) w_1 ] hat k

Realizando o produto interno com U , temos que o lado esquerdo da igualdade toma a forma:

U * [(V + alpha U + beta W) xx W] = ->

u_1 [(v_2 + alpha u_2 + beta w_2) w_3 - (v_3 + alpha u_3 + beta w_3) w_2] + ->

+ u_2 [( v_3 + alpha u_3 + beta w_3 ) w_1 - ( v_1 + alpha u_1 + beta w_1 ) w_3] + ->

-> + u_3 [ (v_1 + alpha u_1 + beta w_1) w_2 - ( v_2 + alpha u_2 + beta w_2 ) w_1 ]

Alguns termos vão cancelar, vamos identificar eles!

U * [(V + alpha U + beta W) xx W] = ->

-> = u_1 [(v_2) w_3 - (v_3) w_2] + u_2 [( v_3 ) w_1 - ( v_1 ) w_3] + u_3 [ (v_1) w_2 - ( v_2 ) w_1 ]

Vamos para o lado esquerdo agora!

Passo 3

Temos que:

U * (V xx W) = u_1 (v_2 w_3 - v_3 w_2) + u_2 (v_3 w_1 - v_1 w_3) + u_3 (v_1 w_2 - v_2 w_1)

Como as expressões são identicamente iguais! Temos que a demonstração está feita! Finalmente. A questão foi isso! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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