Lista de Exercícios Resolvidos de Produto Misto

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Calcule u → ,   v → ,   w → sendo u → = - 1 ,   - 3 ,   1 ,   v → = 1 ,   0 ,   1 ,   w → = ( 2 ,   1 ,   1 ) .

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Para que valor de m   os pontos A m ,   1 ,   2 ,   B 2 ,   - 2 ,   - 3 ,   C 5 ,   - 1 ,   1   e   D 3 ,   - 2 ,   - 2 são coplanares?

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Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

u → = 3 ,   - 1 ,   4 ,   v → = 1 ,   0 ,   - 1       e     w → = 2 ,   - 1 ,   0

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Encontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u ,   v   e   w nos seguintes casos:

  1. Dados os pontos A = 1 ,   3 ,   4 ,   B 3 ,   5 ,   3 ,   C = 2 ,   1 ,   6     e   D = ( 2 ,   2 ,   5 ) tome u → = A B → ,   v → = A C →     e   w → = A D → .
  2. u → = i → + 3 j → + 2 k → ,     v → = 2 i → + j → - k →     e   w → = i → - 2 j → + k → .

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Demonstre que geometricamente o produto misto ( u → ∙ ( v →   ×   w → )   é igual em módulo ao volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u → , v → e   w → .

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Verificar se os pontos A 1 ,   2 ,   4 ,   B - 1 ,   0 ,   - 2 ,   C 0 ,   2 ,   2   e   D ( - 2 ,   1 ,   - 3 ) estão no mesmo plano.

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Sejam os vetores u → = 1 ,   1,0 ,   v → = 2 ,   0 ,   1   ,     w 1 → = 3 u → - 2 v → ,   w 2 → = u → + 3 v →     e   w 3 → = i → + j → - 2 k . →

Determinar o volume do paralelepípedo definido por w 1 → ,   w 2 →   e   w 3 → .

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Qual deve ser o valor de m para que os vetores a → = m ,   2 ,   - 1 ,   b → = 1 ,   - 1 ,   3   e   c → = 0 ,   - 2 ,   4 sejam coplanares?

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Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A 1 ,   2 ,   1 ,   B 7 ,   4 ,   3 ,   C 4 ,   6 ,   2   e   D 3 ,   3 ,   3 .

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Dados os vetores u → = x ,   5,0 ,   v → = 3 ,   - 2 ,   1   e   w → = 1 ,   1 ,   - 1 , calcular os valores possíveis de x para que o volume do paralelepípedo determinado por u → ,   v →   e   w → seja 24 unidades de volume.

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(d) Se u ,   v e w são vetores de R 3   não nulos e ortogonais entre si, então u · ( v   ×   w   ) =   u v w .

(e) Se u ,   v e w são vetores de R 3 não nulos e ortogonais entre si, então u · v   ×   w = u v w .

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se T : R² → R² é uma transformação linear tal que { T ( 1 ,   0 ) ,   T ( 0 ,   1 ) } é base ortonormal de R² , então T é ortogonalmente diagonalizável.

(b) Se u, v e w são vetores não nulos e tais que u   ·   v   =   u   ·   w , então v   =   w .

(c) Se u, v e w são vetores não nulos de R³ e tais que u   ×   v   =   u   ×   w , então v   =   w .

(d) Se u e v são vetores do R³ ortogonais e de mesmo módulo, então ∥   u   ×   v   ∥ =   u   ·   u .  

(e) Se u e v são vetores não nulos e com a mesma direção, então ∥   u   +   v   ∥ ²   = ∥   u   ∥ ²   +   ∥   v   ∥ ²

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Considere os pontos

A = 1,0 , 1 ,   B = 1,2 , 3 ,   C = 2,1 , 1 ,   D = ( 1,3 , 2 )

e os vetores:

v = A B → ,   w = A C →

(a) Determine se existe um plano que contém os pontos A, B, C e D.

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Considere três vetores u → , v → e w → tais que u → ,   v → ,   w → = 10 . Calcule [ 3 w → ,   v → + 2 u → ,   u → - w → ] .

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Em uma base ortonormal são dados os vetores A B → = ( 2 ,   1 ,   5 ) , A C → = ( 3 ,   - 1 ,   2 ) e A D → = - 1 ,   2 ,   1 .

  1. Mostre que A , B , C e D são vértices de um tetraedro.
  2. Calcule a área de face B C D .
  3. Calcule o volume desse tetraedro.

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Seja B = ( i → ,   j → ,   k → ) uma base ortonormal e, nesta base, considere os vetores u → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ) , v → = ( 0 ,   1 ,   2 ) , w 1 → = ( - 1 ,   0 ,   0 ) e w 2 → = 0 ,   1 ,   1 . Determine o vetor x → = ( a ,   b ,   c ) sabendo que u → ∧ x → = v → e x → ,   w 1 → ,   w 2 → = 6 .

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Sabendo que u → ,   v → ,   w → = 6 . Calcule u → + v → ,   2 v → - 3 w → ,   w → - u → .

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Considere o paralelepípedo oblíquo representado abaixo no sistema de coordenadas tridimensional.

a) Determine as coordenadas do ponto F .

b) Calcule o volume do paralelepípedo.

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