Lista de Exercícios Resolvidos de Produto Misto
Calcule sendo .
Ver solução completaPara que valor de os pontos são coplanares?
Ver solução completaVerificar se são coplanares os seguintes vetores:
Ver solução completaEncontre o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores nos seguintes casos:
- Dados os pontos tome .
Demonstre que geometricamente o produto misto é igual em módulo ao volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e .
Ver solução completaVerificar se os pontos estão no mesmo plano.
Ver solução completaQual deve ser o valor de para que os vetores sejam coplanares?
Ver solução completaCalcular o volume do tetraedro cujos vértices são:
Ver solução completaDados os vetores , calcular os valores possíveis de para que o volume do paralelepípedo determinado por seja 24 unidades de volume.
Ver solução completaDecida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(d) Se e são vetores de não nulos e ortogonais entre si, então .
(e) Se e são vetores de não nulos e ortogonais entre si, então
Ver solução completaDecida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(a) Se T : R² → R² é uma transformação linear tal que é base ortonormal de R² , então T é ortogonalmente diagonalizável.
(b) Se u, v e w são vetores não nulos e tais que , então .
(c) Se u, v e w são vetores não nulos de R³ e tais que , então
(d) Se u e v são vetores do R³ ortogonais e de mesmo módulo, então
(e) Se u e v são vetores não nulos e com a mesma direção, então
Ver solução completaConsidere os pontos
e os vetores:
(a) Determine se existe um plano que contém os pontos A, B, C e D.
Ver solução completaConsidere três vetores , e tais que . Calcule .
Ver solução completaEm uma base ortonormal são dados os vetores , e .
- Mostre que , , e são vértices de um tetraedro.
- Calcule a área de face .
- Calcule o volume desse tetraedro.
Seja uma base ortonormal e, nesta base, considere os vetores , , e . Determine o vetor sabendo que e .
Ver solução completaSabendo que . Calcule .
Ver solução completaConsidere o paralelepípedo oblíquo representado abaixo no sistema de coordenadas tridimensional.
a) Determine as coordenadas do ponto .
b) Calcule o volume do paralelepípedo.