Enunciado

  1. Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superfície Ω , reunião das retas paralelas ou contidas em O y z e concorrentes com O x que interceptam a circunferência Γ de centro 0,0 , 2 , raio 1 , contida no plano π : z = 2 . Tente visualizar a superfície.
  2. Obtenha uma equação livre de parâmetros para o conóide de plano diretor π : x - y = 0 cuja diretriz Γ é a interseção dos planos de equações x = 0 e z = 1 , sabendo que O x é a reta dos vértices

Passo 1

O enunciado da questão é exatamente a definição de um conóide. Então, vamos obter as equações da curva Γ e das retas.

Uma circunferência é obtida pela interseção de um plano e uma superfície esférica. Como sabemos o plano em que a circunferência está contida, já temos uma parte do sistema.

Para finalizarmos, vamos compor uma superfície esférica. Ela estará centrada no centro da circunferência e tem como raio o raio da circunferência. Portanto,

Γ : x 2 + y 2 + z - 2 2 = 1 z = 2

Seja P = x , y , z . Se P ∈ Γ , então, z = 2 . Portanto, o ponto P tem coordenadas P = x , y , 2 .

Já os pontos do eixo O x são dados por A = λ , 0,0 . Se queremos uma reta que passa por P e por A (concorrente com O x ) e é paralela/contida em O y z , temos que satisfazer a seguinte relação:

A P → ⋅ i → = 0

x - λ , y , 2 ⋅ 1,0 , 0 = 0

x - λ = 0

x = a

Portanto, a reta r possui a seguinte equação:

r : X = x , 0,0 + λ 0 , y , 2

Passo 2

Agora, precisamos montar o sistema de equação que nos dará a superfície que estamos buscando. Para que façamos isto, vamos precisar trabalhar simultaneamente com a ideia de superfícies cônicas e superfícies cilíndricas.

Então, vamos começar realizando o passo a passo das superfícies cônicas, sabendo que o vértice pertence ao eixo O x , resultado decorrente do enunciado. Logo, V = x , 0,0 .

Seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e V Q → = λ V X → . Só que quem é o vetor V X → ? Ele será exatamente um vetor paralelo a λ r → .

Desta forma, podemos escrever a seguinte relação: V Q → = λ V X → = λ r →

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u 2 + v 2 + z - 2 2 = 1 w = 2

E, se V Q → = λ r → , também temos:

u = x v = λ y w = 2 λ

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u 2 + v 2 + w - 2 2 = 1 w = 2 u = x v = λ y w = 2 λ

Misturamos aqui o desenvolvimento das duas superfícies.

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

x 2 + λ y 2 + 0 2 = 1 w = 2 u = x v = λ y w = 2 λ

Vamos desenvolver a segunda equação para conseguir isolar o parâmetro λ . Portanto,

λ z = 2

λ = 2 z

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

x 2 + λ y 2 + 0 2 = 1

x 2 + 2 y z 2 = 1

Ω : x 2 + 4 y 2 z 2 = 1

Passo 4

Para finalizarmos a questão, temos que descrever os vértices. Isto decorre do fato da equação de Ω obtida no final do passo anterior não conter os vértices (pontos do eixo O x ).

Mas será se são todos os pontos do eixo O x ? Ou são apenas alguns deles?

Para resolver este dilema, precisamos lembrar da curva Γ e da reta r , as restrições impostas a ela.

Como Γ só existe para - 1 ≤ x ≤ 1 e o vetor r → passa pelo eixo O x e pela curva Γ , significa dizer que os vértices tem coordenadas V = x , 0,0 tais que - 1 ≤ x ≤ 1 . Agora sim finalizamos a nossa questão.

Resposta

A solução é dada pela superfície

Ω : x 2 + 4 y 2 z 2 = 1

Mais os vértices V = x , 0,0 tais que - 1 ≤ x ≤ 1

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Representar graficamente as seguintes superfícies cilíndricas: x 2 - 4 y 2 = 16,- 3 ≤ z ≤ 3
Representar graficamente as seguintes superfícies cilíndricas: x 2 + y 2 = 9,0 ≤ z ≤ 4
Representar graficamente as seguintes superfícies cilíndricas: z 2 = 4 y
Representar graficamente as seguintes superfícies cilíndricas: y = 4 - x 2
Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. b )x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om e n o r .