Enunciado

Obtenha uma equação reduzida da elipse de centro O que tem focos em um dos eixos coordenados, excentricidade, 3 / 2 , e contém o ponto 3 , 1 2 .

Passo 1

Suponha que o foco esteja no eixo O x . Assim,

e = c a = 3 2 ⟹ c = 3 2 a

a 2 = b 2 + c 2 ∴ a 2 = b 2 + 3 4 a 2 ⟹ b 2 = 1 4 a 2

Passo 2

A equação da elipse é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Como 3 , 1 2 pertence a elipse, segue que:

3 a 2 + 1 / 4 a 2 / 4 = 1 ∴ 4 a 2 = 1 ⟹ a = 2   ∴ b = 1 2 a = 1

Passo 3

A equação da elipse será:

x 2 4 + y 2 = 1

Passo 4

Ainda há uma outra solução. Se supormos que o foco está em O y , temos

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 ⟹ 3 a 2 / 4 + 1 / 4 a 2 = 1 ∴ 12 a 2 + 1 4 a 2 = 1

49 4 = a 2 ∴ a = 7 2 ∴ b = 7 4

Passo 5

A equação da elipse será:

x 2 49 / 16 + y 2 49 / 4 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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