Enunciado

Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação, em torno de O y , da curva interseção das superfícies Ω 1 : z = y 2 - 1 e Ω 2 : x = 0 .

Passo 1

Precisamos obter uma superfície de revolução obtida pela rotação de Γ em torno de r . A curva Γ é a solução do seguinte sistema:

Γ : z = y 2 - 1 x = 0

Já a reta, em torno da qual rotacionaremos Γ , é o eixo O y . Portanto,

O y : X = 0,0 , 0 + λ 0,1 , 0

Por fim, o vetor diretor da reta é r → = 0,1 , 0 e vamos utilizar o ponto O = 0,0 , 0 da reta.

Passo 2

Agora que obtemos um ponto da reta e seu vetor diretor, já podemos montar o sistema de equações que precisamos resolver.

Para isto, começamos definindo um paralelo. Ele é uma circunferência. Logo, obtido através da interseção de uma superfície esférica e de um plano! Mas qual superfície esférica? E qual plano?

Continuando, o paralelo é uma circunferência centrada na reta r (algum ponto de r será o centro da superfície esférica) e continua em um plano perpendicular a r (vetor diretor da reta será o vetor normal do).

Portanto, ao utilizarmos O = 0,0 , 0 e r → = 0,1 , 0 , o paralelo será dado por:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 y = λ

Continuando, seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, X pertence a um paralelo que passa por um ponto Q = u , v , w , ponto este que pertence a curva Γ .

Bom, temos três informações importantes do texto acima. Elas são:

  • X = x , y , z pertence ao paralelo, logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
  • Q = u , v , w pertence ao paralelo, logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
  • Q = u , v , w pertence a Γ , logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);

No total, temos 6 equações, e o seguinte sistema para resolver:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 y = λ u 2 + v 2 + w 2 = ρ 2 v = λ w = v 2 - 1 u = 0

Percebam que as equações de Q pertencentes ao paralelo e a Γ foram obtidas ao substituirmos no lugar de x , y e z as coordenadas u , v e w do ponto Q .

Passo 3

Nosso trabalho agora é conseguir resolver o sistema de 6 equações, obtendo assim uma única equação sem os parâmetros livres λ e ρ . Então, vamos ao sistema.

Nosso objetivo será conseguir relacionar ρ 2 com λ , inicialmente. Depois, iremos substituir a relação λ = y , da segunda equação no nosso sistema.

Já com uma função ρ 2 = f x , y , z , substituímos na primeira equação e assim conseguimos uma equação livre de parâmetros.

Substituindo v = λ na quinta equação, temos:

w = v 2 - 1 = λ 2 - 1

Como u = 0 , v = λ e w = λ 2 - 1 , ao substituir na terceira equação, temos:

u 2 + v 2 + w 2 = ρ 2

0 2 + λ 2 + λ 2 - 1 2 = ρ 2

λ 2 + λ 2 - 1 2 = ρ 2

Mas como λ = y , temos:

y 2 + y 2 - 1 2 = ρ 2

Portanto,

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

x 2 + y 2 + z 2 = y 2 + y 2 - 1 2

x 2 + z 2 = y 2 - 1 2

Passo 4

Para finalizarmos, basta escrevermos as restrições dos parâmetros livres λ e ρ (consequentemente, do sistema). Logo

y = λ ≥ 0 ρ 2 = λ 2 + λ 2 - 1 2 = y 2 + y 2 - 1 2 ≥ 0

Como, independentemente do valor de y , o parâmetro ρ 2 sempre será maior do que zero, o sistema não possui nenhuma restrição. Portanto, a solução da questão é exatamente:

Ω : x 2 + z 2 = y 2 - 1 2

Resposta

Ω : x 2 + z 2 = y 2 - 1 2

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Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno da reta r . Γ : x 2 + 2 y 2 = 1 y - z = 0 r : x = z - 1 = 0 Γ : x - 1 = y z = 0 r : x = y = z Γ : x - y = 0 z = 0 r : x = y =
Representar graficamente as seguintes superfícies cilíndricas: z = y 2 + 2
Representar graficamente as seguintes superfícies cilíndricas: x 2 + 4 y 2 = 1 6
Representar graficamente as seguintes superfícies cilíndricas: x 2 4 + z 2 9 = 1
Representar graficamente as seguintes superfícies cilíndricas: x - y = 0