Enunciado

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em π e descreva-o geometricamente.

(c) π : x - 2 y - z = 0 r : X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1

Passo 1

O segredo dessa questão é começar encontrando a posição relativa entre a reta e o plano.

A equação vetorial da reta r é:

X = 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1

E para podermos comparar melhor, vamos escrever a equação vetorial do plano também:

x - 2 y - z = 0         ⇒           x = x 1 y = y 1 z = x 1 - 2 y 1

Então um ponto P qualquer no plano é:

P = x 1 1,0 , 1 + y 1 0,1 , - 2

Logo de cara você já deve ter percebido uma coisa: o vetor diretor da reta é igual a um dos vetores diretores do plano!

Isso quer dizer que, no mínimo, a reta é paralela ao plano. Agora temos que verificar se ela também está contida no plano.

Passo 2

O primeiro passo para isso é igualar as equações vetoriais da reta e do plano:

1,0 , 1 + λ 1,0 , 1 = x 1 1,0 , 1 + y 1 0,1 , - 2

1 + λ - x 1   1,0 , 1 = y 1 0,1 , - 2

E como os dois vetores são linearmente independentes, as únicas soluções dessa equação são:

1 + λ - x 1 = 0 y 1 = 0         ⇒           λ = x 1 - 1 y 1 = 0

Qualquer ponto na reta é determinado pelo parâmetro λ . E pra qualquer λ a gente consegue ajustar x 1 e y 1 para ver que esse ponto também está no plano.

Ou seja, a reta está contida no plano.

Passo 3

Ok, como isso ajuda a gente a resolver o problema? Vamos fazer o desenho:

Não esqueça que isso é só uma ilustração: o plano na verdade é infinito!

Todos os segmentos que vão de π até r estão no plano π . E como o plano é infinito, os pontos médios desses segmentos “geram” o plano inteiro.

Mas além de ver isso geometricamente, a gente também pode mostrar com álgebra.

O ponto médio P M de um segmento que vai de P até X é:

P M = 1 2 P + X

P M = 1 2 x 1 1,0 , 1 + y 1 0,1 , - 2 + 1,0 , 1 + λ 1,0 , 1

P M = 1 2 x 1 + 1 + λ 1,0 , 1 + y 1 0,1 , - 2

E como as constantes x 1 , y 1 e λ são arbitrárias, nós podemos juntar todas, e inclusive juntar o coeficiente ( 1 / 2 ) . Então vamos mudar os nomes:

a = 1 2 x 1 + 1 + λ

b = y 1

Então:

P M = a 1,0 , 1 + b 0,1 , - 2

Que é simplesmente a equação vetorial do plano π !

Resposta

O lugar geométrico formado por esses pontos médios é o próprio plano π que foi dado no enunciado.

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