Lista de Exercícios Resolvidos de Posição Relativa de Reta e Plano

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Calcule m ,   n   ∈ R para que a reta r : X = n ,   2 ,   0 + λ ( 2 ,   m ,   m ) esteja contida no plano

π : x - 3 y + z = 1 .

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Verificar se r e π são perpendiculares, sendo

r : X = 0 ,   1 ,   0 + λ 1 ,   1 ,   3       λ ∈ R

π : X = 3 ,   4 ,   5 + λ 6 ,   7 ,   8 + µ 9 ,   10 ,   11     ( λ , µ   ∈ R )

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Calcule m para que a reta r : x - 1 m = y 2 = z m seja transversal ao plano π : x + m y + z = 0

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Determinar os valores de m e n para que a reta

r : x = 2 + t y = 1 + t z = - 3 - 2 t

Esteja contida no plano π :     m x + n y + 2 z - 1 = 0 .

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Dados o plano

π :     3 x + 5 y - 2 z - 9 = 0

e a reta

r : y = 2 x + 3 z = 3 x - 4

Estude a posição relativa de r   e π .

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Verificar se a reta r : x - 2 3 = y + 1 - 2 = z - 1 é perpendicular ao plano π :     9 x - 6 y - 3 z + 5 = 0 .

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Determinar a equação geral do plano perpendicular a reta

r : x = 2 y - 3 z = - y + 1

E que contém o ponto A ( 1 ,   2 ,   3 ) .

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Dados o plano

π :     X = 1 ,   1 ,   3 + λ 1 ,   - 1 ,   1 + µ 0 ,   1 ,   3

e a reta

r : X = 1 ,   1 ,   1 + α 3 ,   2 ,   1

Estude a posição relativa de r   e π .

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Considere duas retas r e s paralelas definidas por

r   =   { t ( 1 ,   - 1 ,   2 ) | t   ∈ R }   e

s   =   { ( 1 ,   1 ,   0 )   +   t ( 1 ,   - 1 ,   2 ) | t   ∈ R }   .

(a) Encontre a equação cartesiana do plano Π 1 que contém ( 0 ,   0 ,   0 ) e é ortogonal à reta r .

(b) Encontre o ponto P que é a interseção do plano Π 1 do item (a) com a reta s .

(c) Calcule a distância entre r e s .

(d) Encontre a equação cartesiana do plano Π 2 que contém as duas retas r e s .

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Considere a reta r = { 1 + t ,   1 - t ,   2 t ∈ R 3 | t ∈ R } e o ponto Q = ( 1 ,   0 ,   2 ) .

(a) Determine a equação cartesiana do plano Γ que contém Q e r .

(b) Determine a equação cartesiana do plano Γ ' que contém Q   e é ortogonal à reta r .

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Considere as retas:

r 1 = 1,0 , 0 + t 2,1 , 0 t ∈ R

r 2 = { 1,1 , 4 + l ( 0,1 , 2 ) | l ∈ R }

Determine:

  1. A distância entre as retas r 1 e r 2 .
  2. A equação cartesiana do plano Π   que contém r 2 e é paralelo a r 1
  3. Uma equação paramétrica da reta r 3 , que é a reflexão de r 1 com relação ao plano Π definido no item (b)

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Considere o plano π : x + 2 y - 2 z + 3 = 0 e as retas

r : X = - 1 ,   0 ,   7 + λ ( 2 ,   1 ,   - 4 ) e s : X = - 3 ,   0 ,   0 + λ ( 6 ,   2 ,   - 1 )

Um tetraedro tem um vértice no ponto de intersecção das retas r e s , tem volume 52 e uma de suas faces, contida no plano π , é um triângulo retângulo com ângulo reto em um ponto da reta s . Faça uma figura que represente esse tetraedro e determine as coordenadas de seus 4 vértices.

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  1. Sejam a reta r : x 2 = y - 1 = z - 1 e a reta s : X = 1 ,   4 ,   2 + λ ( 3 ,   - 1 ,   1 ) . Determine a posição relativa entre r e s .
  2. Caso exista, determine uma equação geral para o plano π determinado pelas retas r e s .

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Considere as retas r : x - 1 2 = y 2 = z 2 e s : X = 4 ,   1 ,   - 6 + λ ( - 2 ,   1 ,   0 ) , e o plano σ : x - z + 11 = 0 .

  1. Determine uma equação geral para o plano γ que contém a reta s e é perpendicular ao plano σ .
  2. Determine a posição relativa entre a reta r e o plano σ . Em seguida, caso exista, determine r ∩ σ .

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Sejam as retas r : X = 0 ,   1 ,   - 1 + λ ( 1 ,   2 ,   - 1 ) e

s :   x - y - z + 3 = 0 y + 2 z - 2 = 0

  1. Determine a posição relativa entre as duas retas.
  2. Se existir um plano π que as contém, encontre a equação geral de π .

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Considere as retas r : X = 1,2 , 3 + λ ( - 1,0 , 1 ) e s : X = 3 , - 2,3 + λ ( 1,1 , 0 ) .

  1. Mostre que r e s são reversas.
  2. Escreva a equação geral do plano que contém r e é paralelo a s .
  3. Calcule a distância entre r e s.

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Dada a reta r :   x + 2 y = 1 x + y + z = 0 :

  1. Escreva uma equação vetorial para r .
  2. Determine a equaão geral do plano π que contém a reta r e é paralelo ao eixo O y .

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Considere os pontos A = ( 0 ,   1 ,   0 ) , B = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) e C = ( 1 ,   1 ,   2 ) e a reta s : X = 0 ,   0 ,   - 3 + λ ( 1 ,   1 ,   1 ) .

a) Escreva a equação geral do plano A B C .

b) Determine a posição relativa entre a reta s e o plano A B C .

c) Determine todos os pontos S sobre a reta s tais que o volume do tetraedro A B C S seja 6 .

(Nota: lembre que o volume de um tetraedro definido por 3 vetores é a sexta parte do módulo do produto misto entre eles)

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Dados os planos π 1 e π 2 , a reta r e o ponto D :

π 1 : x - y + z - 2 = 0

π 2 : X = 3 ,   2 ,   0 + λ 1 ,   3 ,   0 + μ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

r : X = - 1 ,   - 4 ,   2 + λ ( 2 ,   4 ,   - 1 )

D = ( 2 ,   3 ,   2 )

a) Encontre a equação geral de π 2 .

b) Qual a posição relativa entre r e π 2 ? Justifique sua resposta.

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b) Encontre a equação geral do plano π que contém a reta r :   3 x + 2 y + z = 0 x + y - z + 1 = 0 e o ponto P = ( 1 ,   2 ,   3 ) .

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Considere as retas r 1 e r 2 de R 3 cujas equações paramétricas são

r 1 : 1 + t ,   2 t ,   1 - 2 t ,   t ∈ R

r 2 : a + 2 t ,   1 + t ,   10 + t ,   t ∈ R

A reta r 3 de equação cartesiana

r 3 :   x + y + z = 3 x - y + 2 z = 1

E o plano π de equação cartesiana

π : x + y + 2 z = 4

b) Determine a equação cartesiana do plano φ que contém a reta r 1 e é paralelo a r 2 .

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Considere as retas r 1 e r 2 de R 3 cujas equações paramétricas são

r 1 : 1 + t ,   2 t ,   1 - 2 t ,   t ∈ R

r 2 : a + 2 t ,   1 + t ,   10 + t ,   t ∈ R

A reta r 3 de equação cartesiana

r 3 :   x + y + z = 3 x - y + 2 z = 1

E o plano π de equação cartesiana

π : x + y + 2 z = 4

d) Determine o ponto Q de interseção da reta r 1 e o plano π .

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