Enunciado

Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores:

a) 4 i → + 3 j →

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que ele pede pra gente, ele diz que o vetor é 4 i → + 3 j → , isso quer dizer que nosso vetor, que vamos chamar de u → é:

u → = ( 4,3 )

E o vetor que queremos achar vamos chamar de v →

v → = ( x , y )

Para os vetorer serem ortogonais, precisamos que:

v → ∙ u → = 0

Passo 2

Vamos começar analisando o vetor unitário v →

Para um vetor v → ser unitário temos que

v → = 1

x 2 + y 2 = 1

Resolvendo isso ficamos com:

x 2 + y 2 = 1

x 2 = 1 - y 2

x = ± 1 - y 2

Então nosso vetor v → fica

v 1 → = ( 1 - y 2 , y )

v 2 → = ( - 1 - y 2 , y )

Então teremos 2 vetores unitários que são ortogonais!

Passo 3

Vamos escolher um para fazer, e o outro é só invertermos os sinais.

Fazendo o produto escalar de v 1 → com u → (usando x positivo)

v 1 → ∙ u → = ( 1 - y 2 , y ) ∙ ( 4 , 3 )

v 1 → ∙ u → = 4 * 1 - y 2 + 3 y

Só que como os vetores são ortogonais, v 1 → ∙ u → é igual a zero, então temos:

4 * 1 - y 2 + 3 y = 0

4 * 1 - y 2 = - 3 y

1 - y 2 = - 3 y 4

Como 1 - y 2 = x , para y positivo, temos x negativo e para y negativo, temos x positivo

Elevando tudo ao quadrado ficamos com

1 - y 2 = 9 y 2 16

16 - 16 y 2 = 9 y 2

25 y 2 = 16

y = ± 16 25

y = ± 4 5

Passo 4

Ufa! Agora que achamos y , vamos começar com o valor positivo e relembrar quem é nosso vetor unitário v 1 → (com y positivo)

v 1 → = ( - 1 - y 2 , y )

v 1 → = - 1 - 4 5 2 , 4 5

v 1 → = - 9 25 , 4 5

v 1 → = - 3 5 , 4 5

Passo 5

Para acharmos o outro vetor unitário que também é ortogonal é só inverter os sinais

v 2 → = 3 5 , - 4 5

Resposta

- 3 5 , 4 5

Ou

3 5 , - 4 5

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