Enunciado

Com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no Exemplo 7 , mostre que V = R 2 satisfaz os Axiomas de 1 até 9.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para esta questão, temos que verificar os seguintes axiomas:

  • Se u e v são objetos em V , então u + v é um objeto em V .
  • u + v = v + u .
  • u + v + w = u + v + w
  • Existe um objeto 0 em V , denominado vetor nulo de V , ou vetor zero, tal que 0 + u = u + 0 = u .
  • Dado qualquer u em V , existe algum objeto - u , denominado negativo de u , tal que u + - u = - u + u = 0 .
  • Se a for qualquer escalar e u um objeto em V , então k u é um objeto em V .
  • a u + v = a u + a v .
  • a + b u = a u + b u .
  • a b u = a b u .

Lembrando que chamaremos de V o conjunto do Exemplo 7 com suas devidas operações. Portanto:

Considere que V = R 2 e que as operações de adição e multiplicação sejam definidas por:

u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2

k u = ( k u 1 , 0 )

Onde:

u = u 1 , u 2

v = v 1 , v 2

w = w 1 , w 2

Passo 2

Então, para o axioma 1 , temos que:

u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2

Que é da forma de V . Assim, podemos dizer que u + v está em V , portanto o axioma 1 é satisfeito.

Considere que:

v + u = v 1 , v 2 + u 1 , u 2

v + u = v 1 + u 1 , v 2 + u 2

Portanto, podemos dizer que:

u + v = v + u

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que u + ( v + w ) tem que ser igual a u + v + w . Temos que:

u + v + w = u 1 , u 2 + v 1 , v 2 + w 1 , w 2

u + v + w = u 1 , u 2 + v 1 + w 1 , v 2 + w 2

Portanto:

u + v + w = u 1 + v 1 + w 1 , u 2 + v 2 + w 2

Agora vamos avaliar u + v + w . Temos que:

u + v + w = u 1 , u 2 + v 1 , v 2 + w 1 , w 2

u + v + w = u 1 + v 1 , u 2 + v 2 + w 1 , w 2

Portanto:

u + v + w = u 1 + v 1 + w 1 , u 2 + v 2 + w 2

Ou seja:

u + v + w = u + v + w

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 4

Seja 0,0 o vetor zero em V , temos que:

u + 0 = u 1 , u 2 + 0,0

u + 0 = u 1 + 0 , u 2 + 0

Logo:

u + 0 = u 1 , u 2 = u

Temos também que:

0 + u = 0,0 + u 1 , u 2

0 + u = 0 + u 1 , 0 + u 2

Logo:

0 + u = u 1 , u 2 ) = u

Portanto:

u + 0 = 0 + u = u

Ficando assim satisfeito o axioma 4 .

Passo 5

Seja o negativo de u :

- u = ( - u 1 ,   - u 2 )

Portanto:

u + - u = u 1 , u 2 + ( - u 1 ,   - u 2 )

u + - u = ( u 1 - u 1 ,   u 2 - u 2 )

Logo:

u + - u = 0,0

Além disso, podemos dizer que:

u + - u = - u + u

Portanto, - u está em V e u + - u = - u + u = 0 . Sendo assim o axioma 5 está provado.

Seja k um escalar, temos que:

k u = k ( u 1 ,   u 2 )

k u = k u 1 , 0

Portanto o axioma 6 está satisfeito.

Passo 6

Já sabemos que u + v = u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , portanto:

k u + v = k u 1 + v 1 , u 2 + v 2

k u + v = k u 1 + k v 1 , 0

Sabemos também que:

k u = k u 1 , 0

Analogamente, temos que:

k v = k v 1 , 0

Portanto:

k u + k v = k u 1 , 0 + k v 1 , 0

k u + k v = k u 1 + k v 1 , 0

Ficando assim provado que:

k u + v = k u + k v

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 7

Vamos encontrar k + m u :

k + m u = k + m u 1 , u 2

k + m u = k u 1 + m u 1 , 0

Temos também que:

k u + m u = k u 1 , 0 + m u 1 , 0

k u + m u = k u 1 + m u 1 , 0

Ou seja:

k + m u = k u + m u

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Vamos encontrar agora k m u

k m u = k ( m u 1 , u 2 )

k m u = ( k ( m u 1 , 0 ) )

Ou seja:

k m u = k m u

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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