Enunciado

O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam.

R 2 ,   x , y + x ' , y ' = x + x ' ,   y + y '

α x , y = ( α x ,   0 )

Passo 1

Mais uma vez, vamos listar os axiomas. Isso é importante!

A 1 )   u + v + w = u + v + w

A 2 )   u + v = v + u

A 3 )   u + 0 = u

A 4 )   ∀ u ,   ∃ - u ,   u + - u = 0

M 1 )   α β u = α ( β u )

M 2 )   α + β u = α u + β u

M 3 )   α u + v = α u + α v

M 4 )   1 u = u

Passo 2

Então, essa primeira propriedade que ele deu tá com uma cara bem agradável, né? Se liga:

x , y + x ' , y ' = x + x ' ,   y + y '

Isso aí tem cara de soma de vetores, bem direto, então o nosso problema não vai ser nos axiomas de soma. O que faz a gente torcer um pouco o nariz é a segunda propriedade.

α x , y = ( α x ,   0 )

O normal seria que as duas componentes ficassem multiplicadas, mas a segunda foi levada no zero! Isso é bem estranho... Se a gente tiver algum problema, ele vai estar nos axiomas do produto!

Passo 3

Sério, se tem um axioma que me incomoda nesse caso é o M 4 . Ele tá gritando pra gente que tem alguma coisa errada! Isso porque ele fala da multiplicação de um vetor por um escalar só, e leva o vetor nele mesmo, mas se a gente pegar o α igual a 1 , não acontece o que a gente espera normalmente... Vamos pegar u = ( x ,   y ) .

M 4 )

α x , y = α x ,   0

Agora pega α = 1 :

1 x , y = x ,   0

Ué, mas pelo axioma, a gente tinha que obter:

1 x , y = ( x , y )

Como deu diferente, essa não é atendida. Daí, esse conjunto não é espaço vetorial!

Resposta

Não é espaço vetorial.

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