Enunciado

Provar que todo sub-espaço vetorial W de V , com dim ⁡ W = dim ⁡ V - 1 , é o núcleo de uma forma linear não nula.

Passo 1

Para conseguirmos resolver esta questão, vamos ter que voltar para o início, para a definição de um espaço dual.

O espaço dual U * é uma transformação linear F : V → R . Se v ∈ V . Chamamos cada elemento de U * forma linear.

Então, se temos uma forma linear não nula, temos:

F v ≠ 0

Passo 2

No final do Passo anterior obtivemos uma relação muito importante: F v ≠ 0 .

Agora, temos que interpretar o impacto de uma forma não nula para a imagem da transformação. Podemos dizer que, o resultado obtido, implica na imagem desta transformação ser diferente de 0.

Consequentemente, existe algum vetor que compõe base da nossa imagem. Com isto, podemos assumir que:

dim ⁡ I m F = 1

Esta informação também condiz com o fato que I m F ⊂ R , o que implica em:

dim ⁡ I m F ≤ dim ⁡ R

dim ⁡ I m F ≤ 1

Passo 3

Agora é o momento de chave de ouro para finalizarmos a questão. Vamos utilizar o teorema do núcleo e imagem. Para uma transformação F : V → R , ele nos diz que:

dim ⁡ V = dim ⁡ ker ⁡ F + dim ⁡ I m F

Mas como dim ⁡ I m F = 1 , temos:

dim ⁡ V = dim ⁡ ker ⁡ F + 1

dim ⁡ ker ⁡ F = dim ⁡ V - 1

E esta relação não parece muito a relação do enunciado da questão? Basta fazermos W = ker ⁡ F . Em outras palavras, basta dizermos que o núcleo da nossa transformação F , a forma linear não nula, consiste no espaço vetorial W , o qual é subespaço de V .

Assim, concluímos a questão provando a relação do enunciado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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