Enunciado

Sejam F e G formas lineares não nulas no espaço vetorial de V , linearmente dependentes. Prove que ker ⁡ F = ker ⁡ G e sua dimensão é n - 1 se dim ⁡ V = n .

Passo 1

Esta questão é muitooo semelhante a questão 5. Então, é recomendado voltarem para esta questão primeiro. Quando estiverem bastante seguros com a resolução da questão, voltem para essa!

Então, lá provamos que, seja F uma forma linear não nula, temos:

dim ⁡ ker ⁡ F = dim ⁡ V - 1

Da mesma forma, para a forma linear não nula G , temos:

dim ⁡ ker ⁡ G = dim ⁡ V - 1

Se assumirmos que dim ⁡ V = 1 , podemos reescrever as relações da seguinte forma:

dim ⁡ ker ⁡ F = n - 1

dim ⁡ ker ⁡ G = n - 1

E assim provamos uma parte da questão.

Passo 2

Agora, temos que provar que os núcleos das transformações F e G são iguais. Do final do Passo 1, obtivemos que a dimensão de ambos é igual, o que é um pré-requisito.

Para sairmos desse impasse e conseguirmos esta igualdade dos núcleos, teremos que utilizar a seguinte propriedade das transformações lineares. Para uma transformação T : V → U , podemos escrever as seguintes relações entre os seus subespaços:

V = ker ⁡ T ⊕ I m T

O núcleo e a imagem não possuem interseção. São soma direta. A mesma relação é válida para as transformações F e G .

Então, como sabemos que F e G são LD, significa que a imagem de ambas são as mesmas, pois existe a , b ∈ R e diferentes de zero tais que:

a F + b G = 0

Portanto, se a gente junta as duas informações (imagem dos dois espaços serem iguais e a interseção do núcleo com a imagem ser o conjunto vazio), podemos afirmar que:

ker ⁡ F = ker ⁡ G

E assim podemos dizer que concluímos a nossa questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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