Enunciado

Prove: se B dor invertível, então A B^(- 1) = B^(- 1) A se, e só se, A B = B A .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Se B é invertível, então B^(- 1) existe e:

B B^(- 1) = B^(- 1) B = I

Agora vamos considerar a equação do enunciado:

A B^(- 1) = B^(- 1) A

Multiplicando os dois lados por B , temos que:

B (A B^(- 1)) = B (B^(- 1) A)

Manipulando, temos que:

(B A) B^(- 1) = (B B^(- 1)) A

Como foi dito anteriormente, temos que:

B B^(- 1) = I

Logo:

(B A) B^(- 1) = (I) A

Como:

A I = I A = A

Temos que:

(B A) B^(- 1) = A

Multiplicando os dois lados por B , temos que:

B (B A) B^(- 1) = A B

B A (I) = A B

B A = A B

Passo 2

Agora vamos considerar a equação:

B A = A B

Multiplicando os dois lados por B^(- 1) , temos que:

(B A) B^(- 1) = (A B) B^(- 1)

B (A B^(- 1)) = A (B B^(- 1))

B (A B^(- 1)) = A (I)

B (A B^(- 1)) = A

Multiplicando novamente os dois lados por B^(- 1) , temos que:

I (A B^(- 1)) = B^(- 1) A

A B^(- 1) = B^(- 1) A

A partir disso, fica claro que se B é invertível, então A B^(- 1) = B^(- 1) A se e somente se A B = B A .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se A ,B e C matrizes são matrizes inversíveis de mesma ordem, determinar a matriz X de maneira que A B - 1 X = C - 1 A
Existe alguma matriz inversível A tal que A 2 = 0 (matriz nula)? Justifique.
Resolver os seguintes sistemas de Cramer:C) x - y + z + t = 0 x + y - z + t = 1 - x + y + z - t = 0 2 x - y - z + 3 t = 1
Determinar m∈R de modo que o sistema abaixo seja de Cramer e, a seguir, resolvê-lo: x - y + z = 2 x + 2 z = 1 x + 2 y + m z = 0
Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas respectivas:(B) A = 1 0 1 1 1 0 0 2 1