Lista de Exercícios Resolvidos de Matriz Inversa

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Calcule a terceira coluna da inversa da matriz:

1 - 1 1 1 1 0 - 1 0 1

a   1 3 - 1,1 , 2 T

b   1 3 1,1 , 2 T

c   1 3 - 1,1 , - 2 T

d   1 3 1 , - 1,2 T

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Considera a matriz quadrada A de ordem 3 :

A = cos ⁡ x 0 - s e n   x 0 1 0 s e n   x 0 cos ⁡ x

Onde x é um número real.

Podemos afirmar que:

a) A não é invertível para nenhum valor de x

b) A é invertível para um único valor de x

c) A é invertível para exatamente dois valores de x

d) A é invertível para todos os valores de x

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A matriz M possui inversa M - 1 = 1 5 3 - 2 3 2 0 3 2 - 3 1 0 - 2 4 5 2 . Determine u , v e w tais que:

a   M u = e 1

b   M v = e 3

c   M w = e 4

Sendo e 1 = 1 , 0,0 , 0 ,   e 3 = 0,0 , 1,0 ,   e 4 = ( 0,0 , 0,1 )

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Inverta:

a   A = 2 1 - 1 0

b   B = 1 - 1 1 1 1 1 0 0 1

c   C = 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

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Se A , B , C são invertíveis e A B = C , então A =   ? ?

  1. A = B C
  2. A = C B
  3. A = B - 1 C
  4. A = C B - 1

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Considera a matriz A dada:

A = a 0 b 1  

Onde a e b são números reais. Se A 2 = A e A é invertível, então:

a) a = 0 e b = 1

b) a = 1 e b = 0

c) a = 0 e b = 0

d) a = 0 e b = 1

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Considere as afirmativas abaixo:

I – Uma matriz A é invertível somente se para o sistema A x = b a solução for sempre x = A - 1 b .

II – A inversa da matriz identidade 1 0 0 0 1 0 0 0 1 é - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1

III – A matriz 1 2 - 1 2 - 1 3 4 3 1 é invertível e a sua inversa é triangular superior.

Estão corretas, apenas:

a) I e II

b) I

c) II e III

d) III

e) I, II e III

f) II

g) I e III

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Se a inversa de A = 2 3 3 x é 5 - 3 - 3 2 , qual o valor de x ?

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Seja A = 12 3 1 8 4 3 1 1 1 .

Qual das matrizes poderia ser a inversa de A ?

a   1 11 2 * 1 8 * * * * *

b   - 5 - 2 * 1 * * * * *

c   1 - 5 * - 2 * * * * *

d   1 - 2 * - 5 * * * * *

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Das matrizes abaixo, assinale a que é invertível.

a   1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0

b   1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1

c   1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0

d   1 1 2 1 1 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0

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Assinale a matriz que pode ser a inversa da matriz 1 1 1 1 - 1 1 1 1 - 1 :

a   1 2 1 2 * 0 - 1 2 * * * - 1 2

b   0 1 2 * 1 2 0 * * * - 1 2

c   1 2 0 * - 1 2 1 2 * * * - 1 2

d   0 1 2 * 1 2 - 1 2 * * * - 1 2

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Sejam A e B as matrizes abaixo, determine o elemento da segunda linha e da segunda coluna da matriz A - 1 B - B - 1 A .

A = 1 1 - 1 0   e   B = 2 5 1 3

a - 6

b   9

c   6

d   - 9

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Determine a inversa da matriz

A = 1 2 0 2 3 1 2 1 1

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Determine a inversa da matriz

A = 1 2 1 - 1 0 - 1 0 1 1

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Seja T : R 2 → R 3 a transformação linear que satisfaz T 4 ,   - 3 = - 3 ,   1 ,   4 e T - 2 ,   - 1 = 1 ,   2 ,   3 . A matriz que representa T é:

  1. 4 - 2 - 3 - 1 - 1 3 1 - 1 2 4 3 .
  2. 3 - 1 4 1 2 3 4 - 2 - 3 - 1 - 1 .
  3. 4 - 2 - 3 - 1 - 1 3 - 1 4 1 2 3 .
  4. 3 1 - 1 2 4 3 4 - 2 - 3 - 1 - 1 .

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Considere as afirmativas:

  1. Sejam A e B matrizes invertíveis. Se A e B comutam (isto é, A B = B A ) então A - 1 e B - 1 comutam.
  2. Seja A = a 11 a 12 a 21 a 22 uma matriz invertível. Então a 11 ≠ 0 .
  1. (I) é falsa e (II) é falsa.
  2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  3. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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a) Determine a matriz inversa de A   = 1 1 1 3 2 - 1 2 2 1

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Calcule a matriz inversa da matriz 1 0 2 0 1 0 4 0 5 e assinale a soma dos elementos de sua primeira coluna:

a)   - 5 3

b)   - 1 3

c) 0

d)   4 3

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Considere o produto C = A B , onde A   e B   são matrizes que representam transformações bijetivas:

I -   As linhas de A são combinações lineares das linhas de C

I I -   As linhas de B   são combinações lineares das linhas de C

a) I é verdadeira e I I é falsa

b)   I é falsa e I I é verdadeira

c) Ambas são verdadeiras

d) Ambas são falsas

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Seja A = - 8 3 1 - 4 3 1 0 20 8 , a inversa de A é da forma:

(a) * 1 4 0 * * - 1 4 * * *

(b)   * - 1 4 0 * * 1 4 * * *

(c)   * 1 4 1 * * - 1 4 * * *

(d)   * - 1 4 1 * * 1 4 * * *

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Considere as matrizes A = - 1 4 - 1 3 2 - 2 0 0       3 2 7 0 1 0 1 1 e B = 1 0 0 1 1 - 1 0 3 1 .

(b) Determine a inversa de B, a matriz B - 1

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Seja

A = 1 a 1 1 0 1 b 1 0 0 1 c 0 0 0 1

Então,

(a) A é invertível para todo (a, b, c)

(b) A não é invertível para todo (a, b, c)

(c) A só é invertível para todo (a, b, c) (1, 1, 1)

(d) A só é invertível se (a, b, c) é um múltiplo de (1, 1, 1)

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Considere a matriz

Tal matriz é inversível? Em caso afirmativo, determine A - 1 .

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Considere a matriz

e a transformação linear T : R 3 → R 3 cuja matriz na base canônica é M.

(a) Determine a matriz M - 1   inversa de M.

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Calcule a terceira coluna da inversa da matriz:

1 - 1 1 1 1 0 - 1 0 1

a   1 3 - 1,1 , 2 T

b   1 3 1,1 , 2 T

c   1 3 - 1,1 , - 2 T

d   1 3 1 , - 1,2 T

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Seja A = - 8 3 1 - 4 3 1 0 10 4

Qual das matrizes poderia ser a inversa de A ?

a   * 1 4 0 * * - 1 2 * * *

b   * 1 4 1 * * - 1 2 * * *

c   * - 1 2 0 * * 1 4 * * *

d   * - 1 2 1 * * 1 4 * * *

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Seja A = - 1 8 1 1 11 2 1 5 1 . Qual das matrizes poderia ser a inversa de A ?

a   1 1 * - 3 * * * * *

b   1 - 3 * 1 * * * * *

c   - 5 - 2 * 1 * * * * *

d   - 1 1 8 * 1 * * * * *

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Seja A = 1 - 1 1 4 - 3 5 - 1 - 1 - 2

Qual das matrizes poderia ser a inversa de A ?

( a ) 11 3 * - 3 * * * * *

( b ) 11 - 3 * 3 * * * * *

( c ) 11 1 * 3 * * * * *

( d ) - 1 4 1 * 1 2 * * * * *

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Observe bem as matrizes abaixo e assinale aquela que é invertível:

a   0 0 0 4 0 0 0 3 0 2 2 2 1 1 1 1

b   4 4 0 4 3 0 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1

c   4 0 4 0 3 0 3 0 2 2 2 0 1 1 1 1

d   0 0 4 0 0 0 0 3 0 2 2 2 1 1 1 1

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Seja A = 8 3 1 5 3 2 1 1 1 .

Qual das matrizes poderia ser a inversa de A ?

a   1 - 3 * - 2 * * * * *

b   - 3 - 2 * 1 * * * * *

c   1 - 2 * - 3 * * * * *

d   1 7 2 * 1 5 * * * * *

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A terceira coluna da inversa da matriz 1 1 1 1 3 6 1 2 4 é

a   - 2,3 , - 1 T

b   1 , 1 2 , 1 4 T

c   1 , 1 6 , 1 4 T

d   3 , - 5,2 T

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A inversa da matriz A é dada por

A - 1 = 2 - 1 0 2 - 2 1 0 1 2

Seja b = 3 , - 1,1 . A solução do sistema A x = b é:

a   7,10,1

b   7,9 , 1

c   7,9 , 0

( d ) 6,10,1

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Seja A uma matriz na forma

∎ 0 ∎ 0 ∎ 0 0 0 ∎

Onde cada representa um número diferente de zero. (Dois quadradinhos idênticos podem representar números diferentes). Então a inversa de A tem a forma:

(a) ∎ ∎ 0 0 ∎ ∎ 0 0 ∎

(b) ∎ 0 ∎ 0 ∎ 0 0 0 ∎

(c) ∎ ∎ 0 0 ∎ 0 0 0 ∎

(d) ∎ 0 0 0 ∎ ∎ 0 0 ∎

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A soma das entradas de B é:

(a) -6

(b) -2

(c) 4

(d) 8

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Seja a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =   1 0 0 0 6 7 - 3 1 1 - 1

Então a 11 + a 22 + a 33 vale:

  1. - 4 .
  2. - 8 .
  3. - 9 .
  4. - 6 .

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