Enunciado

Prove: o espaço gerado por dois vetores em R 3 é uma reta pela origem, um plano pela origem, ou a própria origem.

Passo 1

Vamos lá! Sejam dois vetores u = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e v = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) , nós temos:

k 1 ⋅ u + k 2 ⋅ v = k 1 ⋅ a 1 ,   a 2 ,   a 3 + k 2 ⋅ ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 )

Chamando k 1 u + k 2 v = γ , nós temos:

γ = k 1 a 1 î +   k 1 a 2 j ^ +   k 1 a 3 k ^ + k 2 b 1 î +   k 2 b 2 j ^ +   k 2 b 3 k ^

∀   k 1 , k 2 ∈ R

Passo 2

Agora vamos analisar nosso γ :

Se k 1 = k 2 = 0 , γ = 0 , logo nossa equação só tem uma resposta possível que é a origem.

Se k 1 = b 2 = b 3 = 0 , nossa equação tem o seguinte formato:

γ = k 2 b 1 î

Que compreende todos os pontos do eixo x , logo é uma reta que passa pela origem.

Para outros valores nosso γ compreenderá todo o conjunto de planos em R 3 , que passem pela origem do sistema, quer uma prova? Vamos fazer:

k 1 k 2 = k ,   a 1 b 1 = x , a 2 b 2 = y ,   a 3 b 3 = z .

Nosso γ agora fica:

k x î + k y j ^ + k z k ^ = 0

Isso é a equação do plano no R 3 , viu só!

Assim conseguimos provar que o espaço gerado por dois vetores em R 3 é uma reta pela origem, um plano pela origem, ou a própria origem!

Até a próxima galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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