Enunciado

Prove a parte (e) do Teorema 1.4.8.

Passo 1

O item (d) diz que (A B)^T = B^T A^T , vamos encontrar os dois lados da equação e comparar. Nosso produto A B pode ser entendido como a multiplicação de uma linha de A por uma coluna de B , ou seja

[[[A,B]]]_i j = sum_(k = 1)^n a_i k b_k j

Quando a gente transpõe uma matriz, trocamos suas linhas por colunas, logo ficamos com

[[[(A B)^T]]]_i j = sum_(k = 1)^n a_j k b_k i

Agora para B A , podemos expressar como

[[[B,A]]]_i j = sum_(k = 1)^n b_i k a_k j

E transpondo cada termo

[[[B^T,A^T]]]_i j = sum_(k = 1)^n (b_i k)^T (a_k j)^T = sum_(k = 1)^n b_k i a_j k

Como b_k i a_j k = a_j k b_k i , isso demonstra que

sum_(k = 1)^n a_j k b_k i = sum_(k = 1)^n b_k i a_j k <=> (A B)^T = B^T A^T

Que são EXATAMENTE IGUAL!!!!

Resposta

sum_(k = 1)^n a_j k b_k i = sum_(k = 1)^n b_k i a_j k <=> (A B)^T = B^T A^T

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Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz 0 1 - 1 0 Mostre que A B = B A .
Efetue os produtos A B e B A onde A = 2 1 1 e B = 1 2 1
Sendo A e B as matrizes do exercício proposto 1, determine matrizes X , Y ∈ M 3 R de maneira que: 2 X - Y = A + B X + Y = A - B
Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz: a 1 0 0 a 1 0 0 a Onde a é um número real.
Considere as seguintes matrizes de M 3 ( R ) : A = 1 0 0 0 2 0 0 0 4 e B = 4 0 0 0 2 0 0 0 1 Mostre que A B = B A . Pode-se concluir daí que é válida a propriedade comutativa da multiplicação em M 3 (