Enunciado

Prove que:

a) u → + v → ⋅ u → - v → = u → 2 - v → 2

b) as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares se, e somente se, o paralelogramo é um losango.

c) v → u → + u → v → é ortogonal a v → u → - u → v →

Passo 1

O item (a) é bem simples e serve de guia para demonstrar o item (b). Fazendo a distributiva:

u → + v → ⋅ u → - v → = u → ⋅ u → - u → ⋅ v → + v → ⋅ u → - v → ⋅ v →

Os termos mistos se cancelam, restando

u → + v → ⋅ u → - v → = u → 2 - v → 2

Lembre-se que u → ⋅ u → = u → 2 .

Passo 2

No item (b) temos que considerar a figura:

As diagonais do paralelogramo são dadas por u → + v → e u → - v → . Sabemos que elas são perpendiculares se, e somente se,

u → + v → ⋅ u → - v → = 0

Nesse caso, pelo item (a), temos que

u → 2 - v → 2 = 0 ⟺ u → = v →

Neste caso, todos os lados do paralelogramo são iguais e ele é chamado de losango. Provamos o item (b)!

Passo 3

No item (c), queremos mostrar que v → u → + u → v → é ortogonal a v → u → - u → v → . Para isso, basta fazer o produto escalar:

v → u → + u → v → ⋅ v → u → - u → v → = v → 2 u → ⋅ u → - u → v → u → ⋅ v → + u → v → u → ⋅ v → - u → 2 v → ⋅ v →

Os termos do meio se cancelam, de modo que

v → u → + u → v → ⋅ v → u → - u → v → = v → 2 u → 2 - u → 2 v → 2 = 0

Portanto, eles são ortogonais!

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Decomponha u → = ( 1 ,0 ,3 ) como soma dos vetores v → e w → tais que v → , ( 1 ,1 ,1 ) e ( - 1 ,1 ,2 ) sejam LD e w → seja ortogonal aos dois últimos.
Obtenha u → ortogonal a ( 1 ,1 ,0 ) tal que u → = 2 e a medida angular em graus entre u → e ( 1 ,- 1 ,0 ) seja 45 ° .
a) Obtenha os vetores de norma 3 3 que são ortogonais a u → = ( 2 ,3 ,- 1 ) e a v → = ( 2 ,- 4 ,6 ) .b) Qual dos vetores obtidos no item (a) forma ângulo agudo com ( 1 ,0 ,0 ) ?
Descreva o conjunto de todos os vetores w → ortogonais a v → = ( 2 ,1 ,2 ) tais que u → = ( 1 ,1 ,- 1 ) seja combinação linear de v → , w → .
Dados v → = ( 1 ,1 ,1 ) , w → = 0 ,1 ,- 1 e t → = ( 2 ,1 ,- 1 ) , obtenha u → de norma de 5 , ortogonal a t → , tal que ( u → ,v → ,w → ) seja LD.