Enunciado

Prove que:

a) u → ⋅ v → ≤ u → v → ;

b) vale a igualdade em (a) se, e somente se, u → ,   v → é LD;

c) u → + v → ≤ u → + v → ;

d) | u → - v → | ≤ u → - v →

e) uma condição necessária e suficiente para que valha a igualdade em cada um dos itens (c) e (d) é: u → e v → são de mesmo sentido ou u → = 0 → ou v → = 0 → .

Passo 1

Provar o item (a) é bem simples, basta usar a expressão do produto escalar:

u → ⋅ v → = u → v → cos ⁡ θ ⇒ u → ⋅ v → = u → v →   cos ⁡ θ

Assim, como cos ⁡ θ ≤ 1 , temos que

u → ⋅ v → ≤ u → v →

Essa é a chamada Desigualdade de Schwarz!

Passo 2

Já no item (b), temos que provar que

u → ⋅ v → = u → v →

se, e somente se, u → ,   v → é LD. Para isso, basta considerar que ela só é válida se

cos ⁡ θ = 1 ⇔ cos ⁡ θ = ± 1

Assim,

θ = 0 °               o u               θ = 180 °

Nos dois casos, u → ,   v → é LD.

Passo 3

No item (c) queremos provar a desigualdade triangular. Para isso, começamos por

u → + v → 2 = u → + v → ⋅ u → + v → = u → 2 + v → 2 + 2 u → ⋅ v →

Mas sabemos que u → ⋅ v → ≤ u → ⋅ v → , pois para qualquer número real x , vale que x ≥ x . Assim, temos que

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 u → ⋅ v → ≤ u → 2 + v → 2 + 2   u → ⋅ v →

Agora usamos a desigualdade de Schwarz, u → ⋅ v → ≤ u → v → , de modo que

u → + v → 2 ≤ u → 2 + v → 2 + 2   u → ⋅ v → ≤ u → 2 + v → 2 + 2   u → v →

Portanto,

u → + v → 2 ≤ u → + v → 2

Assim,

u → + v → ≤ u → + v →

Passo 4

No item (d), queremos mostrar que | u → - v → | ≤ u → - v → , que é equivalente a

- u → - v → ≤ u → - v → ≤ u → - v →

Vamos escrever u → = u → - v → + v → e aplicar a propriedade triangular:

u → = u → - v → + v → ≤ u → - v → + v →

Assim, passando v → para o outro lado:

u → - v → ≤ u → - v →

Esse é o lado direito da relação que queremos mostrar, falta o lado esquerdo. Para isso, escrevemos v → = v → - u → + u → e aplicamos novamente a desigualdade triangular:

v → = v → - u → + u → ≤ v → - u → + u → ⇒ - v → - u → ≤ u → - v →

Mas como v → - u → = u → - v → , temos que

- u → - v → ≤ u → - v →

Desta forma, provamos que

- u → - v → ≤ u → - v → ≤ u → - v →

e assim, que

| u → - v → | ≤ u → - v →

Passo 5

Por fim, vamos ao item (e). Claramente, caso u → = 0 → ou v → = 0 → , a relações dos itens anteriores viram igualdades. Além disso, caso eles tenham mesmo sentido, o ângulo entre eles é θ = 0 ° , de modo que a desigualdade de Schwarz e a triangular viram igualdades. Como toda a demonstração do item (d) leva em conta essas desigualdades, seus resultados também se tornam igualdades!

Resposta

Demonstração.

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Determinar o vetor v → sabendo que 3,7 , 1 + 2 v → = 6,10,4 -v →
Dados os vetores u → = 1 , a , - 2 a - 1 ,v → = a , a - 1 ,1 e w → = ( a , - 1,1 ) , determinar a de modo que u → ⋅ v → = u → + v → ⋅ w → .
Dados os pontos A - 1,0 , 2 ,B - 4,1 , 1eC ( 0,1 , 3 ) , determinar o vetor x → tal que: 2 x → - A B → =x → + B C → ⋅ A B → A C →
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