Enunciado

  1. T 1 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo y .
  2. T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação anti-horária pelo ângulo θ .
  3. T 1 : R 3 → R 3 é a dilatação de fator k e T 2 : R 3 → R 3 é a rotação anti-horária em torno do eixo z pelo ângulo θ .

Passo 1

Então pra gente saber se T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1 , vamos encontrar a representação matricial de cada transformação e ver se a igualdade é respeitada.

Passo 2

Na letra (a), temos que T 1 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo y . Logo

T 1 x ,   y = ( x ,   - y )

T 2 x ,   y = ( - x ,   y )

E a representação matricial fica

R 1 = 1 0 0 - 1

R 2 = - 1 0 0 1

Portanto temos que T 1 ∘ T 2 = R 1 R 2 e T 2 ∘ T 1 = R 2 R 1

T 1 ∘ T 2 = R 1 R 2 ⇒ 1 0 0 - 1 - 1 0 0 1 = - 1 0 0 - 1

T 2 ∘ T 1 = R 2 R 1 ⇒ - 1 0 0 1 1 0 0 - 1 = - 1 0 0 - 1

T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1

Passo 3

Na letra (b), temos que T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação anti-horária pelo ângulo θ , sabemos que a matriz rotação em R 2 é dada por

R = cos ⁡ θ - s e n θ s e n θ cos ⁡ θ

Logo para T 1 e T 2 , temos

P 1 = 1 0 0 0

R 2 = cos ⁡ θ - s e n θ s e n θ cos ⁡ θ

Sabendo disso, temos que T 1 ∘ T 2 = P 1 R 2 e T 2 ∘ T 1 = R 2 P 1 , então

T 1 ∘ T 2 = P 1 R 2 ⇒ 1 0 0 0 cos ⁡ θ - s e n θ s e n θ cos ⁡ θ = cos ⁡ θ - s e n θ 0 0

T 2 ∘ T 1 = R 2 R 1 ⇒ cos ⁡ θ - s e n θ s e n θ cos ⁡ θ 1 0 0 0 = cos ⁡ θ 0 s e n θ 0

Portanto

T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1

Passo 4

E na letra (c), temos que T 1 : R 3 → R 3 é a dilatação de fator k e T 2 : R 3 → R 3 é a rotação anti-horária em torno do eixo z pelo ângulo θ , então a representação matricial das transformações é dada por

D = k 0 0 0 k 0 0 0 k

R = cos ⁡ θ 2 - s e n θ 2 0 s e n θ 2 cos ⁡ θ 2 0 0 0 1

Sabendo disso, temos que T 1 ∘ T 2 = D R e T 2 ∘ T 1 = R D , então

D R = k 0 0 0 k 0 0 0 k cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 0 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1 = k cos ⁡ θ 1 - k s e n θ 1 0 k s e n θ 1 k cos ⁡ θ 1 0 0 0 k

R D = cos ⁡ θ 1 - s e n θ 1 0 s e n θ 1 cos ⁡ θ 1 0 0 0 1 k 0 0 0 k 0 0 0 k = k cos ⁡ θ 1 - k s e n θ 1 0 k s e n θ 1 k cos ⁡ θ 1 0 0 0 k

Portanto T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1

Resposta

  1. T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1 .
  2. T 1 ∘ T 2 ≠ T 2 ∘ T 1 .
  3. T 1 ∘ T 2 = T 2 ∘ T 1 .
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