Enunciado

(Requer Cálculo)Sejam

D f = f ' x                 e                   J f = ∫ o x f t   d t  

As transformações lineares dos Exemplos 11 e 12 da Seção 8.1 . Em cada parte, encontre ( J ∘ D ) ( f ) .

  1. f x = x 2 + 3 x + 2
  2. f x = s e n x
  3. f x = e x + 3

Passo 1

Show de bola então galera, aqui a gente só precisa realizar a composição ( J ∘ D ) ( f ) resolvendo as transformações separadamente.

Passo 2

Na letra (a), temos que f x = x 2 + 3 x + 2 , e ( J ∘ D ) ( f ) pode ser escrito como J D f x , então

D f x = D x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 3

Logo

J D f x = J 2 x + 3 = ∫ o x 2 t + 3   d t   = x 2 + 3 x

Portanto

J ∘ D f = x 2 + 3 x

Passo 3

Na letra (b), temos que   f x = s e n x , logo

D f x = D s e n x = c o s ⁡ ( x )

Então

J D f x = J c o s ⁡ ( x ) = ∫ o x c o s ⁡ ( t )   d t   = s e n ( x )

Portanto

J ∘ D f = s e n ( x )

Passo 4

E na letra (c), temos que f x = e x + 3 , logo

D f x = D e x + 3 = e x

Então

J D f x = J e x = ∫ o x e x   d t   = e x

Portanto

J ∘ D f = e x

Resposta

  1. J ∘ D f = x 2 + 3 x .
  2. J ∘ D f = s e n ( x ) .
  3. J ∘ D f = e x .
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