Enunciado

Repita o Exercício 18 com a matriz

A = 3 1 2 1

Passo 1

Cola aqui pra gente começar pela nossa letra (a). Ela tá pedindo pra encontrar nossa matriz A elevada ao cubo, A 3 . Abrindo esse expoente, a gente vai ter:

A 3 = A . A . A = 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 = 11 4 8 3 ⏝ A 2 2 0 4 1 ⏝ A ⇒

A 3 = A 2 . A =     11 4 8 3 ⏝ A 2 2 0 4 1 ⏝ A = 41 15 30 11

A 3 =   41 15 30 11

Passo 2

Agora a nossa letra (b) pede pra gente encontrar A - 3 . E pra isso a gente pode usar o mesmo bizu que ainda tá quentinho do outro exercício que veio diretamente do nosso item(b) do Teorema 1.4.7 que diz que se A for uma matriz invertível e n um inteiro diferente de 0 , então A n é invertível e existe igualdade maravilinda A n - 1 = A - n = A - 1 n , ou seja, a gente não vai precisar encontrar A - 1 e multiplicar ela por ela mesmo 3 vezes. Como acabamos de descobrir A 3 basta a gente encontrar a inversa dela, A 3 - 1 .

A 3 =   41 15 30 11 ⇒ A 3 - 1 = 1 41 11 - 15 ( 30 ) 11 - 15 - 30 41

A - 3 = 11 - 15 - 30 41

Passo 3

Vamo que ta bonito, na nossa letra (c) vamos ter uma equação envolvendo nossa matriz, essa equação é dada por A 2 - 2 A + I . Como a gente é malandro, vamo encontrar os termos um de cada vez e depois juntar tudo, desse jeitinho aqui ó:

A 2 = 11 4 8 3

2 A = 6 2 4 2

I = 1 0 0 1

A 2 - 2 A + I =   11 4 8 3 - 6 2 4 2 + 1 0 0 1 = 6 2 4 2

Passo 4

A letra (d) também traz um polinômio pra gente resolver, p x = x - 2 , onde p A = A - 2 I

A =   3 1 2 1

2 I =   2 0 0 2

A - 2 I =   3 1 2 1 -   2 0 0 2 = 1 1 2 - 1

Passo 5

Show de bolinhas, agora a letra (e) também traz um polinômio, p x = 2 x 2 + x + 1 , onde p A = 2 A 2 + A + I .

2 A 2 = 22 8 16 6

A =   3 1 2 1

I = 1 0 0 1

2 A 2 + A + I =   22 8 16 6 +   3 1 2 1 +   1 0 0 1 = 26 9 18 8

Passo 6

Antes tarde do que nunca, chegamos na nossa letra (e) que tem mais um polinômiozinho maravilindo pra gente resolver, p x = x 3 - 2 x + 4 , onde p A = A 3 - 2 A + 4 I .

A 3 =   41 15 30 11

2 A = 6 2 4 2

4 I = 4 0 0 4

A 3 - 2 A + 4 I =   41 15 30 11 -   6 2 4 2 + 4 0 0 4 = 39 13 26 13 = 13 3 1 2 1  

Resposta

  1. 41 15 30 11
  2. 11 - 15 - 30 41
  3. 6 2 4 2
  4. 1 1 2 - 1
  5. 26 9 18 8
  6. 13 3 1 2 1
Ver Outros Exercícios desse livro