Enunciado

Considere a matriz

A = a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ a n n

Em que a 11 a 22 ⋯ a n n ≠ 0 . Mostre que A é invertível e encontre sua inversa.

Passo 1

Bom galerinha bonita, de acordo com a Definição 1 do Livro

Se A for uma matriz quadrada e se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo tamanho tal que A B = B A = I , então diremos que A é invertível (ou não singular) e que B é uma inversa de A . Se não puder ser encontrada uma tal matriz B , diremos que A é não invertível ou não singular.”

Isso quer dizer que se a gente conseguir encontrar essa tal matriz B , vamos provar que A é invertível e de brinde nossa matriz B vai ser a nossa inversa rsrs. Então bora na missão.

Passo 2

Primeiro vamos dar uma cara pra B e abrir nossa igualdade A B = I

B = b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮   ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n  

A B = I ⇒ A B =   a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ a n n b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮   ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n n = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ 1 ⇒

A B =   a 11 b 11 a 11 b 12 ⋯ a 11 b 1 n a 22 b 21 a 22 b 22 ⋯ a 22 b 2 n ⋮ ⋮   ⋮ a n n b n 1 a n n b n 2 ⋯ a n n b n n = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ 1

Passo 3

Pô, agora tá ficando bonito, acabamos de descobrir como que fica a igualdade

a 11 b 11 a 11 b 12 ⋯ a 11 b 1 n a 22 b 21 a 22 b 22 ⋯ a 22 b 2 n ⋮ ⋮   ⋮ a n n b n 1 a n n b n 2 ⋯ a n n b n n = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ 1

E a gente pode escrever as equações separadamente pra cada termo, isto é, para os elementos da diagonal principal quando as coordenadas são i = j o resultado do produto a i j b i j vai ser 1

a 11 b 11 = 1 a 22 b 22 = 1 ⋮ a n n b n n = 1

Agora para os outros elementos de coordenadas i ≠ j o produto a i j b i j vai ser 0. Mas é aqui que tá malandragem dos menor, saca só, tu lembra que o enunciado falou pra gente que a 11 a 22 ⋯ a n n ≠ 0 , isso quer dizer que todos esses elementos da matriz A são não nulos, afinal se alguns deles fosse 0 , o produto a 11 a 22 ⋯ a n n seria igual a 0 .

a 11 b 12 = 0 ⋮ a 11 b 1 n = 0 a 22 b 21 = 0 a 22 b 22 = 0   a 22 b 2 n = 0 ⋮ a n n b n 1 = 0 a n n b n 2 = 0            

Olha que coisa linda, como a gente foi malandro e já percebeu que os elementos de A onde a i j e i ≠ j não podem ser 0 , isso implica que para o produto a i j b i j ser nulo, obrigatoriamente os elementos de B onde b i j   e   i ≠ j são iguais a 0 . Desse jeito

B = b 11 0 ⋯ 0 0 b 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ b n n

Passo 4

Como a gente já viu, quando i = j = n , nosso produto a i j b i j ⇒ a n n b n n vai ser igual a 1

a n n b n n = 1 ⇒ b n n = 1 a n n

Ou seja, os elementos da diagonal de B vão depender dos elementos de A de acordo com a relação

  b n n = 1 a n n

Então nossa matriz B agora vai ser

B = b 11 0 ⋯ 0 0 b 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ b n n = 1 a 11   0 ⋯ 0 0 1 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ 1 a n n

Prontinho!!

Resposta

B =   1 a 11   0 ⋯ 0 0 1 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮   ⋮ 0 0 ⋯ 1 a n n

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Mostre que se p x = x 3 - ( a + b + c ) x 2 + a b + a e + b e - c d x - a ( b e - c d ) e A = a 0 0 0 b c 0 d e Então p A = 0 .
Repita as partes (a), (c), (d), (e) e (f) do Exercício 18 com a matriz A = 3 0 0 0 - 1 3 0 - 3 - 1
Seja A a matriz 2 0 4 1 Em cada parte, calcule a quantidade dada. A 3 A - 3 A 2 - 2 A + I p ( A ) , onde p x = x - 2 p A , onde p x = 2 x 2 + x + 1 p ( A ) , onde p x = x 3 - 2 x + 4
Prove a parte (c) do Teorema 1.4.2.
3 x 1 - 2 x 2 = - 1 4 x 1 + 5 x 2 = 3