Enunciado

Sabemos que v → = ( 2 a → + b → ) ^ ( a → - b → ) , a → = 4 , b → = 3 e o ângulo entre a → e b → mede 30 ° . Calcule | v → | .

Passo 1

E ai galerinhaa, blz??

Primeiro, pra calcular o módulo de v → podemos usar o módulo do produto vetorial dado no enunciado. Então bora desenvolver ele:

v → = ( 2 a → + b → ) ^ ( a → - b → )

Você tá ligado nas propriedades do produto vetorial né? Saca só como facilita a vida:

u →   ^   v → = - ( v →   ^ u → )

( α u → )   ^   v → = α ( u →   ^   v → ) = u →   ^   ( α v → )

u →   ^ (   v →   ^   w → ) =   u →   ^   v →   + u →   ^   w →

Passo 2

Então:

( 2 a → + b → ) ^ ( a → - b → ) = 2 a → ^ a →   - 2 a → ^ b → + b → ^ a → - b → ^ b →

Como x → ^ x → = 0 , temos:

( 2 a → + b → ) ^ ( a → - b → ) = - 2 a → ^ b → + b → ^ a →

( 2 a → + b → ) ^ ( a → - b → ) = 2 ( b → ^ a → ) + b → ^ a →

( 2 a → + b → ) ^ ( a → - b → ) = 3 ( b → ^ a → )

Passo 3

Como o ângulo entre os vetores a → e b → é de 30 ° então o seno é igual a 1 2 .

Sendo assim o módulo de b → ^ a → é:

b → ^ a → = | b → | ⋅ a → ⋅ s e n α = 3 ⋅ 4 ⋅ 1 2 = 6

Assim:

v → = 3 ( b → ^ a → ) = 18

Ai, essa foi molinho né?! Vamos pra próxima pra praticar mais!

Resposta

v → = 18

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