Enunciado

Se U ,   V e W são subespaços vetoriais do mesmo espaço, mostrar que U ∩ V + U ∩ W ⊆ U ∩ ( V + W ) . Descubra um exemplo para o qual o primeiro membro dessa relação é diferente do segundo e um exemplo onde ocorre igualdade.

Passo 1

Vamos lá! Vamos supor que x ∈   ( U   ∩   V   ) + ( U   ∩   W ) , ou seja, x é da forma x   =   y   +   z com y ∈   U ∩ V ,     z ∈ U ∩ W . Beleza?

Primeira coisa que precisamos notar aqui é que y e z estão em U , então y + z ∈ U (porque U é um subespaço vetorial). Além disso, y   ∈   V ,   z   ∈   W , então y + z   ∈   V   + W .

Então temos que x   =   y   + z   ∈   U   ∩ ( V   + W ) .

Portanto,

( U   ∩   V   )   +   ( U   ∩   W )   ⊆   U   ∩   ( V   +   W )

Passo 2

O exemplo onde o primeiro membro dessa relação é diferente do segundo e um exemplo onde ocorre igualdade pode ser o seguinte:

No R 2 vamos considerar

U = x , x     x   ∈ R }

V =   0 , y     y   ∈ R }

e

W =   x , 0     x   ∈ R }

Beleza?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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