Enunciado

Seja V um espaço vetorial real. Seja V C a complexificação de V , ou seja, e o conjunto das expressões V + i W , em que V , W ∈ V e i = - 1 . Em V C ,   V + i W = V ' + i W ' significa V = V '   e   W = W ' . A soma em V C é definida por V 1 + i W 1 + V 2 + i W 2 = V 1 + V 2 + i ( W 1 + W 2 ) . A multiplicação por escalar complexo e definido por α + i β V + i W = α V - β W + i α W + β V . Para todo operador linear T : V → V , define-se a complexificação de T , T C : V C → V C por T C V + i W = T V + i T ( W ) , para todos V , W ∈ V . Mostre que

a) Toda base de V é uma base de V C

b) Se B = { V 1 , … , V n } e uma base de V   e   T : V → V é um operador linear de 𝕍, então T B B = T c B B . Portanto, os polinômios característicos de T e de T C são iguais.

c) Se V + i W e um autovetor de T C associado a λ = α + i β , com β ≠ 0 , então w = [ V , W ] é um subespaço T-invariante.

d) Se V + i W e um autovetor de T C associado a λ = α + i β , com β ≠ 0 , então V + i W é também um autovetor de T C associado a λ = α + i β e que B λ = { W , V } é uma base (ordenada) de um subespaço w   d e   V , T-invariante, tal que a matriz da restrição T w de T a w é

T w β λ β λ = α - β β α

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão seja V um espaço vetorial real. Seja V C a complexificação de V , ou seja, e o conjunto das expressões V + i W , em que V , W ∈ V e i = - 1 . Em V C ,   V + i W = V ' + i W ' significa V = V '   e   W = W ' . A soma em V C é definida por V 1 + i W 1 + V 2 + i W 2 = V 1 + V 2 + i ( W 1 + W 2 ) . A multiplicação por escalar complexo e definido por α + i β V + i W = α V - β W + i α W + β V . Para todo operador linear T : V → V , define-se a complexificação de T , T C : V C → V C por T C V + i W = T V + i T ( W ) , para todos V , W ∈ V . Mostre que

a) Toda base de V é uma base de V C

b) Se B = { V 1 , … , V n } e uma base de V   e   T : V → V é um operador linear de 𝕍, então T B B = T c B B . Portanto, os polinômios característicos de T e de T C são iguais.

c) Se V + i W e um autovetor de T C associado a λ = α + i β , com β ≠ 0 , então w = [ V , W ] é um subespaço T-invariante.

d) Se V + i W e um autovetor de T C associado a λ = α + i β , com β ≠ 0 , então V + i W é também um autovetor de T C associado a λ = α + i β e que B λ = { W , V } é uma base (ordenada) de um subespaço w   d e   V , T-invariante, tal que a matriz da restrição T w de T a w é

T w β λ β λ = α - β β α

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) para mostrar toda base de V e uma vase de V C , temos

W ∈ V     e     i = - 1

Na letra (b) para B = { V 1 , … , V n }

p t = a 0 + a 1 t + … + a n - 1 t n - 1 + t n é uma base de V e T : V → V , temos

T B B = T c B B , ficando

T B B = [ T ]

Já na letra ( c ) para V + i W ser um autovetor de T C , temos

λ = α + i β ,

λ W V = λ W ' V ' , ficando

V = V '   e     W = W '

Na letra (d) para,

T w β λ β λ = α - β β α

Temos,

[ T w ] = α - β β α B λ B λ

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) W ∈ V     e     i = - 1

b) T B B = [ T ]

c) V = V '   e     W = W '

d) [ T w ] = α - β β α B λ B λ

Exercícios de Livros Relacionados

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 3 → R 3 tal que T x , y , z = ( x + y , x - y + 2 z , 2 x + y - z )
Suponha que λ seja autovalor de T : V → V com autovetor v e α um número não nulo. Ache os autovalores e autovetores de α T .
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2
Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor do operador T: R n → R n , definido por T X = A X , para todo X ∈ R n , para cada matriz:a) 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3 b) 2 3 0 0 1 0 0 0 2 c) 1 2