Enunciado

Seja A uma matriz m × n . Mostre que se o conjunto solução do sistema linear A X = B é um subespaço, então B = 0 ̄ , ou seja, o sistema linear é homogêneo. (Sugestão: se X é a solução de A X = B , então Y = 0 X também o é.)

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Para começar, vamos lembrar a definição de um subespaço, belezinha? Saca só:

Seja uma matriz m × n e W   ⊂ R n o conjunto solução do sistema linear homogêneo A X = 0 ̄ . Este conjunto satisfaz as seguintes propriedades:

a ) Se X e Y pertencem a W , então X + Y também pertence a W .

b) Se X pertence a W , então α X também pertence a W para todo escalar α .

Um subconjunto não vazio em R n que obedeça a) e b) é dito um subespaço! Vamos tentar usar isso para mostrar que B = 0 ̄ se a solução for um subespaço.

Passo 2

Vamos supor que a relação A X = B é verdadeira para um subespaço, note que pela propriedade a), temos que:

A ( X + Y ) = B deve ser verdade e também que A Y = B . Essa propriedade já o suficiente para nos dizer que:

A X + A Y = B → A X + B = B → A X = 0

Ou seja, B = 0 ̄ . Por completeza note que pela afirmação b) temos que A ( α X ) = B → A X = 1 α B , mas temos que A X = B e portanto B = 1 α B , o que é possível apenas se B = 0 ̄ . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo do passo 2.

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Verifique de u → , v → e w → são LI ou LD.a) u → = ( 1 ,0 ,0 ) , v → = ( 200 ,2 ,1 ) , w → = ( 300 ,1 ,2 ) .b) u → = ( 1 ,2 ,1 ) , v → = ( 1 ,- 1 ,- 7 ) , w → = ( 4 ,5 ,- 4 ) .c) u → = ( 1 ,- 1 ,2 ) ,
Sejam E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 uma base, f → 1 = e → 1 - e → 2 , f → 2 = m e → 1 + e → 3 , f → 3 = - e → 1 - e → 2 - e → 3 .a) Para que valores de m a tripla F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 é base?b) Nas condi
No paralelepípedo retângulo da Figura 7-4 (b), H G , B C e C G medem, respectivamente, 3 , 1 e 2 . a) Explique por que A B → ,A E → ,A D → é base e verifique se é ortonormal.b) Explique por que, em re
No tetraedro A B C D , seja X um ponto tal que A X → = mX D → . Determine os valores de m para os quais os vetores A X → + A C → , B X → + B C → e 1 - mB C → + A B → sejam LD.