Enunciado

Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |   a , b , c   ∈ R } um subespaço de R 3 .

b) Determine uma base para V .

Passo 1

Vamos continuar a questão então! Na última alternativa encontramos os geradores de V , no entanto, é necessário que eles sejam linearmente independentes para serem uma base, vamos checar isso, beleza?

Passo 2

Checar isso no entanto, vai dar um trabalhinho, é preciso encontrar uma solução tal que:

x ( 3,2 , - 2 ) + y ( 4 , - 4 , - 4 ) + z ( - 4 , - 6,2 ) = 0

só tenha a solução trivial x = y = z = 0 . ou seja:

A X   =   0 ̄   e m   q u e   A   =   [ V 1 , V 2 , V 3 ]

De forma, que é conveniente escalonarmos a seguinte matriz, de forma a simplificar o nosso problema:

Bora lá!

Passo 3

Primeiro, vamos identificar como 1 o primeiro elemento da primeira coluna, o pivô, dividindo a primeira linha por 3, saca só:

Agora, precisamos eliminar os dois elementos restantes na primeira coluna. Nós podemos subtrair da segunda linha a primeira linha multiplicada por 2, e somar a terceira linha a primeira linha multiplicada por 2, de forma que:

Agora, precisamos deixar o segundo termo da diagonal como 1, isso é possível se multiplicarmos à segunda linha por - 3 / 20 , obtendo:

Ainda precisamos eliminar o termo que falta abaixo da diagonal na terceira linha, para isso vamos somar a segunda linha multiplicada por 4 / 3 na terceira linha para obter:

Note que a última linha desapareceu completamente, portanto, um dos nossos vetores é linearmente dependente dos outros dois! Sendo assim, vamos tentar obter uma relação para obter o vetor dependente, em termos dos outros dois, saca só!

Passo 4

Nos restou o seguinte sistema de equações:

x + 4 3 y - 4 3 z = 0

e

y + 1 2 z = 0

Como temos 3 parâmetros para duas equações, vamos escolher um deles livremente, no caso z = α , de forma que:

y   =   - α / 2   e   x   - 4 3 1 2 α - 4 3 α → x - 6 3 α → x = 2 α

Nossa equação original tem então a forma:

x V 1 + y V 2 + z V 3 = 0 ̄ → 2 α V 1 - α 2 V 2 + α V 3 = 0

Se escolhermos α = 1 , obtemos

2 V 1 - 1 2 V 2 + V 3 = 0 → V 3 = 1 2 V 2 - 2 V 1

Ou seja, qualquer par construído com os 3 vetores acima pode ser a base escrevendo o terceiro em termos dos vetores de base, já que eles são linearmente independentes 2 a 2. A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

V 1 = ( 3,2 , - 2 )   e   V 2 = ( 4 , - 4 , - )

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