Enunciado

Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão 2 . Se a matriz de T em relação a uma certa base B de V é

a b c d

Mostrar que T 2 - a + d T + a d - b c I = 0 (operador nulo)

Passo 1

Primeiro vamos calcular cada termo do nosso operador. O primeiro é

T 2 = T ⋅ T

Na qual T = a b c d . Então

T 2 = a b c d ⋅ a b c d = a 2 + b c a b + b d c a + d c c b + d 2

O próximo termo será

a + d T = a + d a b c d = a 2 + a d a b + b d a c + d c a d + d 2

E por ultimo

a d - b c I = a d - b c 1 0 0 1 = a d - b c 0 0 a d - b c

Passo 2

Então agora teremos que

T 2 - a + d T + a d - b c I

a 2 + b c a b + b d c a + d c c b + d 2 - a 2 + a d a b + b d a c + d c a d + d 2 + a d - b c 0 0 a d - b c

Agora a soma de matrizes se da linha a linha, então

a 2 + b c - a 2 - a d + a d - b c a b + b d - a b + b d c a + d c - a c - d c c b + d 2 - a d - d 2 + a d - b c

0 0 0 0  

Que leva ao nosso operador nulo como queriamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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