Enunciado

Sejam F e G operadores lineares de R 3 tais F x , y , z = ( x , 2 y , y - z ) e que a matriz de 2 F - G em relação à base canonica é

1 1 0 0 1 0 1 2 1

Determinar a matriz de G em relação à base canônica. Determinar também G x , y , z .

Passo 1

Primeiro tome que dado F x , y , z = ( x , 2 y , y - z ) e supondo que G x , y , z = a , b , c com a ,   b e c funções de x , y , z então

2 F - G = 2 x , 2 y ,   y - z - a , b , c

= 2 x - a , 4 y - b , 2 y - 2 z - c

Na qual a matriz transformação de 2 F - G pode ser escrita como

1 1 0 0 1 0 1 2 1 x y z = x + y , y , x + 2 y + z

Ou seja

x + y , y , x + 2 y + z = 2 x - a , 4 y - b , 2 y - 2 z - c

Passo 2

Escrevendo um sistema do que encontramos acima, temos

x + y = 2 x - a y = 4 y - b x + 2 y + z = 2 y - 2 z - c

Na qual teremos que

a = x - y b = 3 y c = - x - 3 z

Ou seja

G x , y , z = x - y , 3 y , - x - 3 z

Na qual teremos que a de G em relação à base canônica será

1 - 1 0 0 3 0 - 1 0 - 3

Visto que

1 - 1 0 0 3 0 - 1 0 - 3 x y z = x - y , 3 y , - x - 3 z

Resposta

1 - 1 0 0 3 0 - 1 0 - 3

G x , y , z = x - y , 3 y , - x - 3 z

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Calcular o traço da matriz do operador linear F ∈ L R 3 dado por F x , y , z = x , x - y , x + z . Generalizar para F x , y , z = a x + b y + c z , d x + e y + f z , g x + h y + i z .
Seja F ∈ L R 3 , R 2 definida por F x , y , z = x + z , y - 2 z . Determinar F B , C sendo B = 1,2 , 1 , 0,1 , 1 , 0,3 , - 1 e C = 1,5 , 2 , - 1 .
Se a matriz de um operador linear F do R 3 em relação à base canônica é 1 1 0 0 1 0 0 1 - 1 E se H = I + F + F 2 , determine a matriz de H em relação à base canônica do R 3 . Ache também H x , y , z .
Sejam F , G ∈ L P 2 R 2 , P 3 R 2 assim definidos: F p t = t p t - p 1 e G p t = t - 1 p t , ∀ p t ∈ P 2 R 2 . Determinar as matrizes de F e de G em relação ao seguinte par de bases: B = 1 , t - 1 , t
Seja B = e 1 , e 2 , e 3 uma base de um espaço vetorial B sobre R . Sendo F , G ∈ L V dados por F e 1 = e 1 - e 2 , F e 2 = e 1 + e 3 . F e 3 = e 2 , G e 1 = 2 e 1 + e 3 , G e 2 = e 1 e G e 3 = e 2 -