Enunciado

Seja T :   R 2 → R 2 o operador linear que transforma u em T ( u ) e v em T ( v ) , conforme figura.

a) Dar a lei do operador T .

b) Determinar a transformação linear que transforma T ( u ) em u e T ( v ) em v .

Passo 1

O problema fornece uma transformação linear por meio de uma figura. Dela, conseguimos tirar que

T u = T 1 ,   1 = ( 1 ,   2 )

T v = T 0 ,   1 = ( - 1 ,   1 )

Precisamos dar a lei do operador, isto é, escrever T ( x , y ) e no item (b) achar sua inversa.

Para isso, vamos escrever primeiro:

T 1 ,   1 = T 1 ,   0 + T 0 ,   1 = ( 1 ,   2 )

Mas como T 0 ,   1 = ( - 1 ,   1 ) , temos que

T 1 ,   0 + - 1 ,   1 = 1 ,   2 ⇒ T 1 ,   0 = ( 2 ,   1 )

Assim, como temos T 1 ,   0 = ( 2 ,   1 ) e T 0 ,   1 = ( - 1 ,   1 ) , podemos construir a matriz canônica para a transformação:

T = 2 - 1 1 1

Passo 2

Desta forma, podemos escrever uma expressão para a transformação fazendo o produto de matrizes:

2 - 1 1 1 ⋅ x y = 2 x - y x + y

Logo,

T x , y = ( 2 x - y , x + y )

Passo 3

Note que

d e t ⁡ ( [ T ] ) = 2 + 1 = 3 ≠ 0

Logo, T é invertível. Para achar sua inversa, vamos usar o truque que só vale para matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

T = 2 - 1 1 1 - 1 = 1 3 1 1 - 1 2 = 1 3 1 3 - 1 3 2 3

Assim, a transformação inversa é dada por

1 3 1 3 - 1 3 2 3 ⋅ x y = x 3 + y 3 - x 3 + 2 y 3

Logo,

T - 1 x , y = x 3 + y 3 , - x 3 + 2 y 3

Resposta

T x , y = ( 2 x - y , x + y )

T - 1 x , y = x 3 + y 3 , - x 3 + 2 y 3

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