Exercícios de Operadores Autoadjuntos e Ortogonais - Lista de Exercícios Resolvida

Seja a transformação linear dada por

Considere para o espaço vetorial o produto interno . O operador é autoadjunto? E o operador é ortogonal?

Diga se os operadores abaixo são ortogonais:

, dado

, dado

Diga se os operadores lineares abaixo são autoadjuntos:

, dado

, dado , ,

, dado , onde:

, dado

, dado

Considere o espaço vetorial com o produto interno usual e seja o operador linear sobre definido por:

onde é um ângulo fixo. Mostre que é um operador ortogonal.

Verifique se o operador é ortogonal.

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas.

(a) Sejam , vetores do espaço munido de produto interno . Se é ortogonal a , então .

Em , considere o produto internoSeja o operador linear dado abaixo. Escreva uma das maneiras de verificar que um operador linear é ortogonal, e em seguida, utilizando essa maneira, diga se esse é um operador ortogonal.

Considere a transformação linear dada por

1. é auto-adjunto? Justifique.
2. é ortogonal? Justifique.

Considere para o espaço vetorial o produto interno usual. Seja a transformação linear dada por . O operador é Autoadjunto?

Seja um espaço vetorial munido com produto interno usual. Considere os vetores de e um operador linear tal que e

(a) Verifique se T é auto-adjunto.

(b) Verifique se T é ortogonal.

Seja operador linear. Mostre que: se é operador auto-adjunto e ortogonal ao mesmo tempo e , para uma base ortonormal, então

Considere com produto interno canônico. Seja uma transformação linear dada por:

T é autoadjunta? T é ortogonal? Justificar.

Defina operador adjunto e operador ortogonal.

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

(a) Dado um operador autoadjunto. Seja u o autovetor de T associado ao autovalor e seja v o autovetor de T associado ao autovalor Então .

(b) Dados temos que:

(c) Considere com produto interno tal que então é uma base ortonormal.

Seja V um espaço vetorial munido com produto interno e um operador linear ortogonal. Se são ortogonais, podemos afirmar que ?

Verifique se as funções abaixo são operadores lineares ou não:

b)

Verifique se as funções abaixo são operadores lineares ou não:

a)

Seja a transformação linear dada por

Considere para o espaço vetorial o produto interno . O operador é autoadjunto? E o operador é ortogonal?

Em , considere o produto interno usual. Seja a base canônica de e o operador linear dado por

Justifique porque o operador é ortogonal.

Tomando o operador em como uma rotação em , determine a direção do seu eixo.

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

1. é subespaço vetorial de .
2. Seja um espaço vetorial com produto interno e um operador ortogonal tal que , então é auto-adjunto.

DICA: Lembre que se é ortogonal conserva o produto interno. E considere os vetores e .

Seja , com produto interno . Determine se , o operador linear cuja matriz na base canônica, , é:

é um operador auto adjunto.

Em , considere o produto interno .

Seja um operador linear dado por:

O operador é autoadjunto?

Seja munido do produto interno . Seja um operador em definido por

a) Mostre que não é autoadjunto.

b) Justifique porque, embora a matriz de na base seja isso não contradiz o item anterior.

Suponha que é uma base ortonormal de com respeito a um dado produto interno. Seja um operador linear tal que:

é um operador ortogonal?