Enunciado

Seja O o ponto de encontro das diagonais do paralelepípedo A B C D P Q R S da Figura 8-1.

a) Determine a matriz de mudança da base E = A B → ,   A D → ,   A P → para a base F = O P → ,   O S → ,   O R → .

b) Seja M o ponto médio da aresta A D . Calcule a tripla de coordenadas de   O M → na base F .

c) Mostre que todo vetor que tem as três coordenadas iguais relativamente à base F é gerado por   A P → + B P → + A S → .

Passo 1

Esse é um probleminha que envolve uma visão espacial. No item (a) temos que escrever a matriz de mudança de base M E F e, para isso, temos que escrever os vetores de F em termos dos vetores de E .

Vamos começar por   O P → :

O P → = O A → + A P → = - A O → + A P →

Por outro lado,

A O → = 1 2 A R → = 1 2 A B → + B C → + C R → = 1 2 A B → + A D → + A P →

Portanto,

O P → = - 1 2 A B → + A D → + A P → + A P → = - 1 2   A B → - 1 2   A D → + 1 2   A P → = - 1 2 ,   - 1 2 , 1 2 E

Já para   O S → :

O S → = O A → + A P → + P S → = - A O → + A P → + A D →

Assim,

O S → = - 1 2 A B → + A D → + A P → + A P → + A D → = - 1 2   A B → + 1 2   A D → + 1 2   A P → = - 1 2 , 1 2 , 1 2 E

Por fim, para   O R → :

O R → = A O → = 1 2 A B → + A D → + A P → = 1 2 , 1 2 , 1 2 E

Desta forma, a matriz de mudança de base será

M E F = - 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = 1 2 - 1 - 1 1 - 1 1 1 1 1 1

Passo 2

Agora queremos escrever o vetor   O M → na base F . Primeiro vamos escrever ele na base E que é mais fácil de visualizar:

O M → = O A → + A M → = - A O → + 1 2   A D → = - 1 2 A B → + A D → + A P → + 1 2   A D →

Assim,

O M → = - 1 2   A B → - 1 2   A P → = - 1 2 ,   0 ,   - 1 2 E

Por outro lado, sabemos que

x 1 x 2 x 3 E = M E F   y 1 y 2 y 3 F

Neste caso, temos

1 2 - 1 0 - 1 = 1 2 - 1 - 1 1 - 1 1 1 1 1 1 ⋅ y 1 y 2 y 3 ⇒ - y 1 - y 2 + y 3 = - 1 - y 1 + y 2 + y 3 = 0 y 1 + y 2 + y 3 = - 1

Somando a primeira equação com a última:

2 y 3 = - 2 ⇒ y 3 = - 1

Substituindo na primeira e na segunda:

- y 1 - y 2 - 1 = - 1 - y 1 + y 2 - 1 = 0 ⇒ y 1 + y 2 = 0 - y 1 + y 2 = 1

Somando as equações:

2 y 2 = 1 ⇒ y 2 = 1 2 ⇒ y 1 = - 1 2

Assim,

O M → = - 1 2 , 1 2 ,   - 1 F

Passo 3

No item (c) temos que mostrar algo um pouco diferente. Temos que mostrar que todos os vetores que têm as três coordenadas iguais relativamente à base F é gerado por   A P → + B P → + A S → . Para isso, vamos partir da relação

x 1 x 2 x 3 E = M E F   y 1 y 2 y 3 F

Como todas as coordenadas com relação a base F devem ser iguais, vamos tomar y 1 = y 2 = y 3 = y :

x 1 x 2 x 3 E = 1 2 - 1 - 1 1 - 1 1 1 1 1 1 ⋅ y y y = y 2   - 1 1 3

Assim, esse vetor genérico, que vou chamar de u → , é dado por

u → = y 2 - A B → + A D → + 3   A P →

Passo 4

Agora temos que escrever   A B → e   A D → em termos de   A S → , B P → e   A P → . Note que

A B → = A P → + P B → = A P → - B P →

Além disso,

A D → = A S → + S D → = A S → - A P →

Portanto,

u → = y 2 - A P → - B P → + A S → - A P → + 3   A P → = y 2 A P → + B P → + A S →

Assim, vemos que u → é uma combinação linear de A P → + B P → + A S → , que é exatamente o que queríamos mostrar!

Resposta

M E F = - 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

O M → = - 1 2 , 1 2 ,   - 1 F

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Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 1 , t , 1 - t 2d oP 2 ( R )
Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 1 , 2 , 0,1 )d oR 2
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Determinar as bases duais de cada uma das seguintes bases: 0,1 , 0,0 , 2,1 , 0,0 , 0,0 , 1,1 , 0,0 , 0,3d oR 4