Enunciado

Sejam E = ( u → ,   v → ,   w → ) uma base e F = a → ,   b → ,   c → tais que u → = 2 a → + 2 b → , v → = 2 a → - b → e w → = a → + b → - 5 c → . Prove que F é base e verifique se x → ,   y → é LI ou LD, nos casos:

a) x → = 2 ,   2 ,   0 F e y → = - 4 ,   0 ,   - 2 E b) x → = 1 ,   0 ,   2 F e y → = 11 15 , 2 3 ,   - 4 5 E

Passo 1

Nas outras questões nós sempre construímos a matriz de mudança de base M E F , nesse aqui vamos fazer um pouco diferente: como os vetores da base E foram dados em termos dos vetores da base F , vamos construir a matriz M F E com a relação

y 1 y 2 y 3 F = M F E   x 1 x 2 x 3 E

Os vetores da base E são escritos como

u → = 2 ,   2 ,   0 F

v → = 2 ,   - 1 ,   0 F

w → = 1 ,   1 ,   - 5 F

Assim, as colunas de M F E são as coordenadas desses vetores:

M F E = 2 2 1 2 - 1 1 0 0 - 5

Para verificarmos se F realmente é uma base, o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero:

det ⁡ M F E = 2 2 1 2 - 1 1 0 0 - 5 = 2 ⋅ 5 - 2 ⋅ - 10 + 1 ⋅ 0 = 10 + 20 = 30 ≠ 0

Portanto, F é uma base!

Passo 2

Para verificarmos se ( x → ,   y → ) é LI ou LD, temos que escrever os dois vetores na mesma base. Assim, vamos converter y → para a base F e assim ver se eles são LI ou LD. No item (a), temos que

y 1 y 2 y 3 F = 2 2 1 2 - 1 1 0 0 - 5 ⋅ - 4 0 - 2 = - 10 - 10 10

Assim, temos que x → = 2 ,   2 ,   0 F e y → = - 10 ,   - 10 ,   10 F . Um vetor não é múltiplo do outro, de modo que o conjunto ( x → ,   y → ) é LI nesse caso!

Passo 3

Já no item (b), temos que

y 1 y 2 y 3 F = 2 2 1 2 - 1 1 0 0 - 5 ⋅ 11 / 15 2 / 3 - 4 / 5

Fazendo a multiplicação:

y 1 = 22 15 + 4 3 - 4 5 = 22 + 20 - 12 15 = 30 15 = 2

y 2 = 22 15 - 2 3 - 4 5 = 22 - 10 - 12 15 = 0

y 3 = 20 5 = 4

Assim, temos que x → = 1 ,   0 ,   2 F e y → = 2 ,   0 ,   4 F . Esses dois vetores são claramente LD pois y → = 2 x → .

Resposta

L I   e   L D

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Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 para a base F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1
Sejam E = ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) , F = ( f → 1 ,f → 2 ,f → 3 ) e G = g → 1 ,g → 2 ,g → 3 três bases. Verifique se são verdadeiras ou falsas a afirmações seguintes e justifique sua respostas.a) M E F
Seja O o ponto de encontro das diagonais do paralelepípedo A B C D P Q R S da Figura 8-1. a) Determine a matriz de mudança da base E = A B → ,A D → ,A P → para a base F = O P → ,O S → ,O R → .b) Seja
Mostre que M E E = I 3 .
Determine a , b e c , sabendo que 1 ,1 ,2 E = 2 ,1 ,0 F e que a matriz de mudança da base F para a base E é - 1 0 a 2 1 b 1 0 c