Enunciado

Seja F : U → V uma transformação linear com a seguinte propriedade: se { u 1 , … , u n } é uma base de U , então F u 1 , … , F u n é linearmente independente em V. Provar que F é injetora.

Passo 1

Bom, provar que uma transformação linear injetora é verificar que, dados os vetores u 1 e u 2 e uma transformação F , temos

F u 1 = F u 2

Se e somente se u 1 = u 2 . Vamos interpretar esta relação de outra forma, a qual será importante para concluirmos que F é injetora.

Esta outra interpretação é: para cada transformação F , isto é, um F u , existe um único vetor u que satisfaz.

O que a gente fez foi basicamente repetir a informação anterior. Só que se a gente vê que para um u único existe um F u único é fundamental para conseguirmos resolver a questão.

Passo 2

Certo, mas como iremos resolver a questão em si? Para isto, vamos precisar utilizar as definições de base e listas LI.

Seja u um vetor qualquer de U . Então, como { u 1 , … , u n } é uma base de U , temos:

u = α 1 u 1 + … + α n u n

Sendo os coeficientes da combinação linear α 1 , … , α n únicos (decorrência direta de uma base). Então, se aplicarmos a transformação F ao vetor u , temos:

F u = F α 1 u 1 + … + α n u n

F u = F α 1 u 1 + … + F α n u n

F u = α 1 F u 1 + … + α n F u n

Vejam só o que nós temos acima. Escrevemos o “vetor” F u como uma combinação linear da lista F u 1 , … , F u n , a qual, por definição, é uma lista LI.

E aqui a gente usa novamente aquela ideia de que um vetor é escrito de uma única maneira através da combinação linear de uma lista LI. Desta forma, existe um único w ∈ V tal que:

w = α 1 F u 1 + … + α n F u n

Portanto, existe um único w tal que:

F u = w

Desta forma, como existe um único w para um único u , acabamos provando que a transformação linear F é uma transformação injetora.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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